¿Aleatorio o no?

Antes de comenzar esta actividad, es posible que desees leer estas definiciones:

Sumar o multiplicar dos números enteros juntos

¿Alguna vez has pensado en el resultado que obtienes:

En particular, ¿son todos los últimos dígitos igualmente probables?

Ejemplo:

39 + 57 = 96 tiene el último dígito 6

38 × 45 = 1,710 tiene el último dígito 0.

Entonces, ¿los dígitos del 0 al 9 son igualmente probables?

¿Cuál es tu conjetura?


Sumar. Marca una de las siguientes opciones:

Cuando sumas dos números enteros seleccionados al azar Marca
Sí, todos los últimos dígitos son igualmente probables
No, los últimos dígitos no son todos igualmente probables


Multiplicar. Marca una de las siguientes opciones:

Cuando multiplica dos números enteros seleccionados al azar Marca
Sí, todos los últimos dígitos son igualmente probables
No, los últimos dígitos no son todos igualmente probables

 

Veamos si adivinaste correctamente ...

(Nota: damos respuestas a las tablas en la parte inferior de la página ... pero solo verifícalas cuando hayas terminado, o esta no sería una actividad, ¿verdad?)

Suma

Piensa en:

Verás que todos terminan en el dígito 1.

Entonces, ¿qué tienen en común?

Son todas sumas de números enteros cuyos últimos dígitos son 3 y 8 respectivamente. Cuando sumamos un número que termina en 3 a un número que termina en 8, siempre obtenemos un número que termina en 1.

Entonces, todo lo que debemos considerar son los últimos dígitos de los dos números que estamos sumando.

Podemos hacer esto completando una tabla.

La siguiente tabla está incompleta. ¿Puedes completar los números que faltan?

Recuerda: solo el último dígito después de la suma, por lo que con 6 + 7 = 13, queremos el "3"

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0
2 3
5

8
1
2
4

7

0
2 2

5
7

0 1
3
4

7 8
0 1
4 4
6
8
0

3
5
6
8
0 1
3
6 6
8
0
2 3

7
8
0 1
3

6
8 8
0

3
5 6
9
0 1
3

6
8

Ahora puedes contar los números y completar una tabla de frecuencias:

Último dígito
Cuenta Frecuencia Frecuencia relativa
0 cuenta 5cuenta 5 10 0.1
1


2


3


4


5


6


7


8


9


 

Entonces, ¿todos los últimos dígitos son igualmente probables esta vez?

La respuesta es sí.

Cada valor de 0 a 9 ocurre exactamente 10 veces de cada 100.
Así que todos son igualmente probables, como cuando lanzas un dado.

Frecuencias relativas

¿Puedes completar la última columna de la tabla con las frecuencias relativas para cada último dígito?

Ejemplo:

0 ocurre 10 veces de cada 100, por lo que la frecuencia relativa para 0 es 10/100 = 0.1

 

Multiplicación

Piensa en:

Verás que todas terminan en el dígito 8.

Entonces, ¿qué tienen en común?

Todos son productos de números enteros cuyos últimos dígitos son 2 y 9 respectivamente. Cuando multiplicamos un número que termina en 2 con un número que termina en 9, siempre obtenemos un número que termina en 8.

Entonces, todo lo que debemos considerar son los últimos dígitos de los dos números que estamos multiplicando.

La siguiente tabla está incompleta. ¿Puedes completar los números que faltan?

Recuerda: solo el último dígito después de la multiplicación, por lo que con 3 × 6 = 18, queremos el "8".

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1
3 4
6 7
9
2 0
4 6
0
4 6
3 0 3
9 2
8 1
7
4 0
8 2
0 4
2 6
5 0 5 0
0
0 5 0 5
6 0
2 8
0 6
8
7 0 7
1 8
2 9
3
8 0
6 4
0 8
4 2
9 0 9

6
4 3
1

Ahora puedes contar los números y completar una tabla de frecuencias:

Último dígito
Cuenta Frecuencia Frecuencia relativa
0 cuenta 5cuenta 5cuenta 5cuenta 5cuenta 5cuenta 2 27 0.27
1


2


3


4


5


6


7


8


9


 

Entonces, ¿todos los últimos dígitos son igualmente probables esta vez?

La respuesta sigue siendo no.
El último dígito 0 ocurre 27 veces de cada 100, pero el último dígito 7 solo ocurre cuatro veces:

1 × 7 , 3 × 9 , 7 × 1 y 9 × 3

Frecuencias relativas

¿Puedes completar la última columna de la tabla con las frecuencias relativas para cada último dígito?

Ejemplo

0 ocurre 27 de cada 100, por lo que la frecuencia relativa para 0 es 27/100 = 0.27

 

Conclusiones

¿Predijiste los resultados correctamente?


La suma da resultados igualmente probables, pero la multiplicación no ... ¡qué tal eso!

¿Podrían las frecuencias relativas ser útiles de alguna manera?

 

 

... ¡No mires más allá de aquí hasta que hayas completado la actividad! ...

 

Tablas completadas

Aquí están las respuestas:

Suma

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Último dígito Frecuencia  Frecuencia
relativa
0 10 0.1
1 10 0.1
2 10 0.1
3 10 0.1
4 10 0.1
5 10 0.1
6 10 0.1
7 10 0.1
8 10 0.1
9 10 0.1
Total 100 1.0

 

Multiplicación

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Último dígito Frecuencia  Frecuencia
relativa
0 27 0.27
1 4 0.04
2 12 0.12
3 4 0.04
4 12 0.12
5 9 0.09
6 12 0.12
7 4 0.04
8 12 0.12
9 4 0.04
Total 100 1.00