Propiedades de las Desigualdades

La desigualdad nos dice sobre el tamaño relativo de dos valores.

(Puede que primero quieras leer una pequeña Introducción a las Desigualdades)

Las 4 desigualdades

Símbolo
Significado
Ejemplo
>
mayor que
x+3 > 2
<
menor que
7x < 28
mayor o igual que
5 ≥ x−1
menor o igual que
2y+1 ≤ 7



signo mayor que

El símbolo "señala" el valor más pequeño

Propiedades

Las desigualdades tienen propiedades ... ¡todas con nombres especiales!

Aquí enumeramos cada una, con ejemplos.

Nota: los valores a, b y c que usamos a continuación son Números Reales.

Propiedad Transitiva

Cuando vinculamos las desigualdades en orden, podemos "saltar" la desigualdad media.

Propiedad Transitiva

Si a < b y b < c, entonces a < c

Del mismo modo:

Si a > b y b > c, entonces a > c

Ejemplo:

¡entonces Alex también debe ser mayor que Carlos!

Propiedad de reversión

Podemos intercambiar a y b si nos aseguramos de que el símbolo siga "apuntando" al valor más pequeño.

Ejemplo: Alex es mayor que Brenda, así que Brenda es más joven que Alex

Ley de tricotomía

La "Ley de tricotomía" dice que solo una de las siguientes es cierta:

Propiedad de Tricotomía

Tiene sentido, ¿verdad? a debe ser menor que b o igual a b o mayor que b. Debe ser uno de esos, y solo uno de esos.

Ejemplo: Alex tiene más dinero que Brenda

Lo podríamos escribir así:

a > b

Entonces también sabemos que:


(¡Por supuesto!)

 

Suma y resta

Sumar c a ambos lados de una desigualdad simplemente mueve todo, y la desigualdad permanece igual.

Propiedad Suma

Si a < b, entonces a + c < b + c

Ejemplo: Alex tiene menos dinero que Brenda.

Si tanto Alex como Brenda obtienen $3 más, entonces Alex seguirá teniendo menos dinero que Brenda.

Likewise:

Por lo tanto, sumar (o restar) el mismo valor a a y b no cambiará la desigualdad.

Multiplicación y división

Cuando multiplicamos a y b por un número positivo, la desigualdad permanece igual.

Pero cuando multiplicamos a y b por un número negativo, ¡la desigualdad cambia!

Propiedad Multiplicación
  Observa que a<b se convierte en b<a después de multiplicar por (-2)
Pero la desigualdad permanece igual cuando se multiplica por +3

Éstas son las reglas:

Un ejemplo "positivo":

Ejemplo: el puntaje de Alex de 3 es menor que el puntaje de Brenda de 7.

a < b

Si tanto Alex como Brenda logran duplicar sus puntajes (× 2), el puntaje de Alex seguirá siendo más bajo que el puntaje de Brenda.

2a < 2b

Pero cuando se multiplica por un negativo sucede lo contrario:

Pero si los puntajes se vuelven negativos, entonces Alex tiene perdidos 3 puntos y Brenda tiene perdidos 7 puntos


¡Así que Alex ahora lo ha hecho mejor que Brenda!

−a > −b

¿Por qué multiplicar por negativo invierte el signo?

Bueno, solo mira la recta numérica.

Por ejemplo, de −3 a −7 es una disminución, pero de 3 a 7 es un aumento.

recta numérica -7<-3 y 3<7

Observa que−7 < −3
pero+7 > +3

Entonces el signo de desigualdad se invierte (de < a >)

Inverso aditivo

Como acabamos de ver, poner el signo menos delante de a y b cambia la dirección de la desigualdad. Esto se llama el "inverso aditivo":

Esto es realmente lo mismo que multiplicar por (-1), y es por eso que cambia de dirección.

Ejemplo: Alex tiene más dinero que Brenda, por lo que Alex está por delante.

Pero una nueva ley dice que "todo su dinero es ahora una deuda que debe pagar con mucho trabajo"

Así que ahora Alex está peor que Brenda.

Inverso multiplicativo

Inverso Multiplicativo

Tomando el recíproco (1/valor) de ambos a y b puede cambiar la dirección de la desigualdad.

Cuando a y b son ambos positivos o ambos negativos:

Ejemplo: Alex y Brenda completan un recorrido de 12 kilómetros.

Alex trota a 6 km/h y Brenda camina a 4 km/h.

La velocidad de Alex es mayor que la velocidad de Brenda

6 > 4

Pero el tiempo de Alex es menos que el de Brenda:

12/6 < 12/4

2 horas < 3 horas

Pero cuando a o b es negativo (no ambos) la dirección permanece igual:

Propiedad no negativa de los cuadrados

Un cuadrado de un número es mayor o igual que cero:

a2 ≥ 0

Ejemplo:

Siempre mayor que (o igual a) cero.

Propiedad de raíz cuadrada

Calcular la raíz cuadrada no cambiará la desigualdad (pero solo cuando tanto a como b son mayores o iguales a cero).

Si a ≤ b entonces √a ≤ √b
(para todo a,b ≥ 0)

Ejemplo: a=4, b=9

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).