Propiedades de las Desigualdades
La desigualdad nos dice sobre el tamaño relativo de dos valores.
(Puede que primero quieras leer una pequeña Introducción a las Desigualdades)
Las 4 desigualdades
Símbolo
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Significado
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Ejemplo
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---|---|---|
>
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mayor que
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x+3 > 2
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<
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menor que
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7x < 28
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≥
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mayor o igual que
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5 ≥ x−1
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≤
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menor o igual que
|
2y+1 ≤ 7
|
El símbolo "señala" el valor más pequeño
Propiedades
Las desigualdades tienen propiedades ... ¡todas con nombres
especiales!
Aquí enumeramos cada una, con ejemplos.
Nota: los valores a, b y c que usamos a
continuación son Números
Reales.
Propiedad Transitiva
Cuando vinculamos las desigualdades en orden, podemos "saltar" la desigualdad media.Si a < b y b < c, entonces a < c
Del mismo modo:
Si a > b y b > c, entonces a > c
Ejemplo:
- Si Alex es mayor que Brenda y
- Brenda es mayor que Carlos,
Propiedad de reversión
Podemos intercambiar a y b si nos aseguramos de que el símbolo siga "apuntando" al valor más pequeño.
- Si a > b entonces b < a
- Si a < b entonces b > a
Ejemplo: Alex es mayor que Brenda, así que Brenda es más joven que Alex
Ley de tricotomía
La "Ley de tricotomía" dice que solo una de las siguientes es cierta:
Tiene sentido, ¿verdad? a debe ser menor que b o igual a b o mayor que b. Debe ser uno de esos, y solo uno de esos.
Ejemplo: Alex tiene más dinero que Brenda
Lo podríamos escribir así:
a > b
Entonces también sabemos que:
- Alex no tiene menos dinero que Brenda (no a <b)
- Alex no tiene la misma cantidad de dinero que Brenda (no a = b)
(¡Por supuesto!)
Suma y resta
Sumar c a ambos lados de una desigualdad simplemente mueve todo, y la desigualdad permanece igual.
Si a < b, entonces a + c < b + c
Ejemplo: Alex tiene menos dinero que Brenda.
Si tanto Alex como Brenda obtienen $3 más, entonces Alex seguirá teniendo menos dinero que Brenda.
Likewise:
- Si a < b, entonces a − c < b − c
- Si a > b, entonces a + c > b + c, y
- Si a > b, entonces a − c > b − c
Por lo tanto, sumar (o restar) el mismo valor a a y b no cambiará la desigualdad.
Multiplicación y división
Cuando multiplicamos a y b por un número positivo, la desigualdad permanece igual.Pero cuando multiplicamos a y b por un número negativo, ¡la desigualdad cambia!
Observa que a<b se convierte en
b<a después de multiplicar por (-2)
Pero la desigualdad permanece igual cuando se multiplica por +3
Éstas son las reglas:
- Si a < b, y c es positivo, entonces ac < bc
- Si a < b, y c es negativo, entonces ac > bc (¡la desigualdad se voltea!)
Un ejemplo "positivo":
Ejemplo: el puntaje de Alex de 3 es menor que el puntaje de Brenda de 7.
a < b
Si tanto Alex como Brenda logran duplicar sus puntajes (× 2), el puntaje de Alex seguirá siendo más bajo que el puntaje de Brenda.
2a < 2b
Pero cuando se multiplica por un negativo sucede lo contrario:
¡Así que Alex ahora lo ha hecho mejor que Brenda!
−a > −b
¿Por qué multiplicar por negativo invierte el signo?
Bueno, solo mira la recta numérica.Por ejemplo, de −3 a −7 es una disminución, pero de 3 a 7 es un aumento.
Entonces el signo de desigualdad se invierte (de < a >)
Inverso aditivo
Como acabamos de ver, poner el signo menos delante de a y b cambia la dirección de la desigualdad. Esto se llama el "inverso aditivo":
- Si a < b entonces −a > −b
- Si a > b entonces −a < −b
Esto es realmente lo mismo que multiplicar por (-1), y es por eso que cambia de dirección.
Pero una nueva ley dice que "todo su dinero es ahora una deuda que debe pagar con mucho trabajo"
Así que ahora Alex está peor que Brenda.
Inverso multiplicativo
Tomando el recíproco (1/valor) de ambos a y b puede cambiar la dirección de la desigualdad.
Cuando a y b son ambos positivos o ambos negativos:
- Si a < b entonces 1/a > 1/b
- Si a > b entonces 1/a < 1/b
Ejemplo: Alex y Brenda completan un recorrido de 12 kilómetros.
Alex trota a 6 km/h y Brenda camina a 4 km/h.
La velocidad de Alex es mayor que la velocidad de Brenda
6 > 4
Pero el tiempo de Alex es menos que el de Brenda:
12/6 < 12/4
2 horas < 3 horas
Pero cuando a o b es negativo (no ambos) la dirección permanece igual:
- Si a < b entonces 1/a < 1/b
- Si a > b entonces 1/a > 1/b
Propiedad no negativa de los cuadrados
Un cuadrado de un número es mayor o igual que cero:
a2 ≥ 0
Ejemplo:
- (3)2 = 9
- (−3)2 = 9
- (0)2 = 0
Siempre mayor que (o igual a) cero.
Propiedad de raíz cuadrada
Calcular la raíz cuadrada no cambiará la desigualdad (pero solo cuando tanto a como b son mayores o iguales a cero).
Si a ≤ b entonces √a ≤ √b
(para todo a,b ≥ 0)
Ejemplo: a=4, b=9
- 4 ≤ 9 así que √4 ≤ √9
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).