Simetría de las Ecuaciones

Las ecuaciones pueden tener simetría:

x^2
Gráfica de x2

Simetría respecto al eje-Y

1/x
Gráfica de 1/x
Simetría diagonal

En otras palabras, hay una imagen reflejada.

Beneficios

Los beneficios de encontrar simetría en una ecuación son:

Cómo Verificar la Simetría

A menudo podemos ver la simetría visualmente, pero para estar realmente seguros debemos verificar un hecho simple:

¿La ecuación no cambia cuando se usan valores simétricos?

La manera de hacer esto depende del tipo de simetría:

Para la simetría sobre el eje Y

Para la simetría con respecto al eje Y, verifica si la ecuación es la misma cuando se reemplaza x con x:

Ejemplo: ¿es y = x2 simétrica respecto al eje Y?

Intenta reemplazar x con x:

y = (−x)2

Dado que (−x)2 = x2 (negativo por negativo da positivo), no hay cambio.

Así que y = x2 es simétrica respecto al eje-Y

Para la simetría sobre el eje X

Usa la misma idea que para el eje Y, pero reemplaza y con y.

Ejemplo: ¿es y = x3 simétrica respecto al eje X?

Intenta reemplazar y con y:

−y = x3

Ahora intenta obtener la ecuación original:

Intenta multiplicar ambos lados por 1:

y = −x3

Es diferente.

Por lo que y = x3 no es simétrica respecto al eje Y

 

Simetría Diagonal 

Intenta intercambiar y y x (i.e., reemplaza y con x y x con y).

Ejemplo: ¿ y = 1/x tiene simetría diagonal?

Empieza con:

y = 1/x

Intercambia y con x:

x = 1/y

 

Ahora reorganiza eso: multiplica ambos lados por y:

xy = 1

Luego divide ambos lados entre x:

y = 1/x

Y tenemos la ecuación original. Son iguales.

Entonces y = 1 / x tiene simetría diagonal

Simetría respecto al origen

simetría respecto al origen

La Simetría con el Origen es cuando cada parte tiene una parte correspondiente que está a:

Verifica si la ecuación es la misma cuando reemplazamos ambas x con x y y con y.

Ejemplo: ¿ y = 1/x tiene simetría respecto al origen?

Empieza con:

y = 1/x

Reemplaza x con x y y con y:

(−y) = 1/(−x)

Multiplica ambos lados por 1:

y = 1/x

Y tenemos la ecuación original.

Así que y = 1/x tiene Simetría con el Origen.

¡Asombroso! ¡ y = 1/x tiene simetría diagonal y también simetría con el origen!


 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).