La Ecuación Diferencial de Bernoulli

Cómo resolver esta ecuación diferencial especial de primer orden

Una Ecuación de Bernoulli tiene esta forma:

dydx + P(x)y = Q(x)yn
donde n es cualquier Número Real excepto 0 o 1

Cuando n = 0 la ecuación se puede resolver como una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden.

Cuando n = 1 la ecuación se puede resolver mediante Separación de Variables.

Para otros valores de n podemos resolverla sustituyendo

u = y1−n

y convertirla en una ecuación diferencial lineal (y luego resolver eso).


Ejemplo 1: Resuelve

dydx + x5 y = x5 y7

Es una Ecuación de Bernoulli con P(x)=x5, Q(x)=x5, y n=7, así que intentemos la siguiente sustitución:

u = y1−n

u = y−6

En términos de y tenemos:

y = u(−16)

Derivamos y con respecto a x:

dydx = −16 u(−76) dudx

Ahora hay que sustituirdydx y y en la ecuación original  dydx + x5 y = x5 y7

−16u(−76) dudx + x5u(−16) = x5u(−76)

Multiplica todos los términos por −6u(76)

dudx − 6x5u = −6x5

¡La sustitución funcionó! Ahora tenemos una ecuación que esperamos poder resolver.

Simplifica:

dudx = 6x5u − 6x5

dudx = (u−1)6x5

Usando Separación de Variables:

duu−1 = 6x5 dx

Integramos de ambos lados:

1u−1 du  = 6x5 dx

Y eso nos da:

ln(u−1) = x6 + C

u−1 = ex6 + C

u = e(x6 + c) + 1

Sustituimos de vuelta y = u(−16)

y = ( e(x6 + c) + 1 )(−16)

¡Resuelto!

Y obtenemos estas curvas de ejemplo:

gráfico con varias curvas

Veamos de nuevo esa sustitución que hicimos arriba. Empezamos con:

dydx + x5y = x5y7

Y terminamos con:

dudx − 6x5u = −6x5

De hecho, en general, podemos ir directamente desde

dydx + P(x)y = Q(x)yn
n no es ni 0 ni 1

a:

dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)

Luego se resuelve eso y se termina sustituyendo y = u(−1n−1)

Hagámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: Resuelve

dydxyx = y9

Es una Ecuación de Bernoulli con n = 9, P(x) = −1x y Q(x) = 1

Sabiendo que es una Ecuación de Bernoulli podemos saltar directamente a esto:

dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)

Que, después de sustituir n, P(X) y Q(X), se convierte en:

dudx + 8ux = −8

Ahora intentemos resolver eso.

Desafortunadamente, no podemos separar las variables, pero la ecuación es lineal y tiene la forma dudx + R(X)u = S(x) con R(X) = 8x y S(X) = −8

La cual podemos resolver con los pasos 1 a 9:

Paso 1: Sea u=vw

Paso 2: Derivamos u = vw

dudx = vdwdx + wdvdx

Paso 3: Sustituimos u = vw y dudx = v dwdx + w dvdx en dudx + 8ux = −8:

vdwdx + wdvdx + 8vwx = −8

Paso 4: Factorizamos las partes donde aparece w.

vdwdx + w(dvdx + 8vx) = −8

Paso 5: Igualamos a cero la parte interior de los paréntesis () y separamos las variables.

dvdx + 8vx = 0

dvv = −8dxx

Paso 6: Resolvemos esta ecuación diferencial separable para encontrar v.

dvv = − 8dxx

ln(v) = ln(k) − 8ln(x)

v = kx−8

Paso 7: Sustituimos v en la ecuación obtenida en el paso 4.

kx−8 dwdx = −8

Paso 8: Resolvemos para hallar v

kx−8 dw = −8 dx

k dw = −8x8 dx

k dw = −8x8 dx

kw = −89x9 + C

w = 1k( −89 x9 + C )

Paso 9: Sustituimos en u = vw para encontrar la solución a la ecuación original.

u = vw = kx−8k( −89 x9 + C )

u = x−8 ( − 89 x9 + C )

u = −89x + Cx−8

Ahora, la sustitución que usamos fue:

u = y1−n = y−8

Lo que en nuestro caso significa que necesitamos sustituir de nuevo y = u(−18) :

y = ( −89 x + c x−8 ) (−18)

¡Listo!

Y obtenemos esta bonita familia de curvas:

familia de curvas

Ejemplo 3: Resuelve

dydx + 2yx = x2y2sin(x)

Es una Ecuación de Bernoulli con n = 2, P(x) = 2x y Q(x) = x2sin(x)

Podemos pasar directamente a esto

dudx + (1−n)uP(x) = (1−n)Q(x)

Que, después de sustituir n, P(X) y Q(X), se convierte en:

dudx2ux = − x2sin(x)


En este caso, no podemos separar las variables, pero la ecuación es lineal y de la forma dudx + R(X)u = S(x) con R(X) = −2x y S(X) = −x2sin(x)

Resuelve los pasos 1 a 9:

Paso 1: Sea u=vw

Paso 2: Deriva u = vw

dudx = vdwdx + wdvdx

Paso 3: Sustituye u = vw y dudx = vdwdx + wdvdx en dudx2ux = −x2sin(x)

vdwdx + wdvdx2vwx = −x2sin(x)

Paso 4: Factoriza las partes donde aparece w.

vdwdx + w(dvdx2vx) = −x2sin(x)

Paso 5: Iguala a cero la parte interior de los paréntesis () y separa las variables.

dvdx2vx = 0

1vdv = 2xdx

Paso 6: Resuelve esta ecuación diferencial separable para encontrar v.

1v dv = 2x dx

ln(v) = 2ln(x) + ln(k)

v = kx2

Paso 7: Sustituimos v en la ecuación obtenida en el paso 4.

kx2dwdx = −x2sin(x)

Paso 8: Resuelve esto para hallar v.

k dw = −sin(x) dx

k dw = −sin(x) dx

kw = cos(x) + C

w = cos(x) + Ck

Paso 9: Sustituye en u = vw para encontrar la solución a la ecuación original.

u = kx2cos(x) + Ck

u = x2(cos(x)+C)

Finalmente sustituye de vuelta y = u-1

y = 1x2 (cos(x)+C)

Lo cual se ve así (valores de ejemplo de C):

1 / (x^2(cos(x)+C))

 

La Ecuación de Bernoulli se atribuye a Jacob Bernoulli (1655-1705), miembro de una familia de famosos matemáticos suizos.


¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).