Teorema de Bayes

¡Bayes es mágico!

¿Alguna vez te preguntaste cómo aprenden las computadoras acerca de las personas?

El Teorema de Bayes es una manera de calcular una probabilidad cuando conocemos otras ciertas probabilidades.

La fórmula es:

P(A|B) = P(A) P(B|A)P(B)

Lo cual nos dice:		con qué frecuencia sucede A dado que sucede B, escrito como P(A|B),
Cuando sabemos:		con qué frecuencia sucede B dado que sucede A, escrito como P(B|A)
		qué tan probable es A por sí mismo, lo cual se escribe P(A)
		y qué tan probable es B por sí mismo, lo cual se escribe P(B)

 

Digamos que P(Fuego) significa con qué frecuencia hay fuego, y P(Humo) significa con qué frecuencia vemos humo, entonces:


Entonces, la fórmula nos dice las cosas "en un sentido" P(Fuego|Humo) cuando conocemos "el sentido contrario" P(Humo|Fuego)

Solo 4 números

Imagina a 100 personas en una fiesta, y que cuentas cuántos visten de rosa o no, y si son hombres o no, y obtienes estos números:

¡El Teorema de Bayes se basa solo en esos 4 números!

Hagamos algunas cuentas:

Y calculemos algunas probabilidades:

• la probabilidad de ser hombre es P(Hombre) = 40100 = 0.4
• la probabilidad de vestir color rosa es P(Rosa) = 25100 = 0.25
• la probabilidad de que un hombre vista color rosa es P(Rosa|Hombre) = 540 = 0.125
• la probabilidad de que una persona que viste color rosa sea un hombre es P(Hombre|Rosa) = ...

 

¡Y entonces llega el cachorro! Qué lindo perrito.

 

¡Y ahora todos tus datos están despedazados! Solo sobreviven 3 valores:

• P(Hombre) = 0.4,
• P(Rosa) = 0.25 and
• P(Rosa|Hombre) = 0.125

¿Puedes hallar P(Hombre|Rosa) ?

Imagina que un invitado que vestía color de rosa olvidó dinero ... ¿fue un hombre? Podemos responder esta pregunta usando el Teorema de Bayes:

P(Hombre|Rosa) = P(Hombre) P(Rosa|Hombre)P(Rosa)

P(Hombre|Rosa) = 0.4 × 0.1250.25 = 0.2

Nota: si todavía tuviéramos los datos sin procesar podríamos calcular directamente 525 = 0.2

Generalizando

¿Por qué funciona?

Reemplacemos los números con letras:

Ahora veamos las probabilidades. Y tomemos algunas proporciones:

• la probabilidad general de "A" es P(A) = s+ts+t+u+v
• la probabilidad de "B dado A" es P(B|A) = ss+t

Y luego multiplicamos así:

 

Ahora hagamos eso de nuevo pero usemos P(B) y P(A|B):

 

Ambas formas obtienen el mismo resultado de ss+t+u+v

Así que podemos ver que:

P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)

Agradable y simétrico, ¿no?

En realidad, tiene que ser simétrico, ya que podemos intercambiar filas y columnas y obtener la misma esquina superior izquierda.

Y también es la fórmula de Bayes ... simplemente divide ambos lados por P(B):

Recordar

Primero piensa "AB AB AB", luego recuerda agruparlo como: "AB  =  A  BA  /  B"

P(A|B) = P(A) P(B|A)P(B)

¿Alergia a los gatos?

Uno de los usos más famosos del Teorema de Bayes es sobre los Falsos Positivos y Falsos Negativos.

Para aquellos que tenemos dos casos posibles para "A", como Pasar/Fallar (o Sí/No, etc.)

Queremos saber la posibilidad de tener la alergia cuando la prueba dice "Sí", lo cual escribimos como P(Alergia|Sí)

Usemos la fórmula:

P(Alergia|Sí) = P(Alergia) P(Sí|Alergia)P(Sí)

• P(Alergia) es la probabilidad de tener la alergia = 1%
• P(Sí|Alergia) es la probabilidad de que la prueba diga "Sí" para personas con alergia = 80%
• P(Sí) es la probabilidad de que la prueba diga "Sí" (a cualquiera) = ??%

¡Oh no! No sabemos cuál es la probabilidad general de que la prueba diga "Sí" ...

... pero podemos calcularlo sumando los que tienen y los que no tienen alergia:

• 1% tiene alergia, y la prueba dice "Sí" al 80% de ellos
• El 99% no tiene alergia y la prueba dice "Sí" al 10% de ellos.

Sumemos eso:

P(Sí) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10.7%

Lo que significa que aproximadamente el 10.7% de la población obtendrá un resultado "Sí".

Entonces ahora podemos completar nuestra fórmula:

P(Alergia|Sí) = 1% × 80%10.7%  = 7.48%

P(Alergia|Sí) = about 7%

Este es el mismo resultado que obtuvimos en Falsos Positivos y Falsos Negativos.

De hecho, podemos escribir una versión especial de la fórmula de Bayes solo para cosas como esta:

P(A|B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B|A) + P(no A)P(B|no A)

"A" con tres (o más) casos

Acabamos de ver "A" con dos casos (A y no A), de los cuales nos ocupamos en el resultado final.

Cuando "A" tiene 3 o más casos, los incluimos todos en la línea de fondo:

P(A1|B) = P(A1)P(B|A1) P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) + ...etc

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).