Variables Aleatorias:
Media, Varianza y
Desviación Estándar
Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Al lanzar una moneda podríamos obtener Cara o Cruz.
Vamos a darles los valores Cara = 0 y Cruz = 1 y tenemos una variable aleatoria "X":
Entonces:
- Tenemos un experimento (como lanzar una moneda)
- Damos valores a cada evento.
- El conjunto de valores forman la Variable Aleatoria
Aprende más en Variable Aleatoria.
Media, Varianza y Desviación Estándar
Ejemplo: lanzar un dado dado desequilibrado
Por diversión, imagina un dado mal equilibrado (¡trampa!) para que tengamos estas probabilidades:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
Media o Valor Esperado: μ
Cuando conocemos la probabilidad p de cada valor x podemos calcular el Valor Esperado (Media) de X:
μ = Σxp
Nota: Σ es Notación Sigma, y significa sumar.
Para calcular el valor esperado:- multiplica cada valor por su probabilidad
- suma
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| xp | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 3 |
μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5
El valor esperado es 4.5
Nota: esta es la media ponderada: los valores con mayor probabilidad tienen mayor contribución a la media.
Varianza: Var(X)
La Varianza es:
Var(X) = Σx2p − μ2
Para calcular la varianza:
- eleva al cuadrado cada valor y multiplica por su probabilidad
- suma todos y obtienes Σx2p
- luego resta el cuadrado del valor esperado μ2
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| x2p | 0.1 | 0.4 | 0.9 | 1.6 | 2.5 | 18 |
Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5
Var(X) = Σx2p − μ2 = 23.5 - 4.52 = 3.25
La varianza es: 3.25
Desviación Estándar: σ
La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la Varianza:
σ = √Var(X)
Ejemplo (continuación):
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.5 |
| x2p | 0.1 | 0.4 | 0.9 | 1.6 | 2.5 | 18 |
σ = √Var(X) = √3.25 = 1.803...
La Desviación Estándar es 1.803...
¡Veamos otro ejemplo!
(Ten en cuenta que en esta ocasión analizaremos la tabla hacia abajo en lugar de a lo largo).
Planeas abrir un nuevo Pollo Frito Texas, y encontraste estas estadísticas para restaurantes similares:
| Porcentaje | Ganancias al año |
|---|---|
| 20% | $50,000 Pérdida |
| 30% | $0 |
| 40% | $50,000 Ganancia |
| 10% | $150,000 Ganancia |
Usando esos valores como probabilidades para la ganancia de
tu nuevo restaurante, ¿cuál es el Valor Esperado y Desviación
Estándar?
La variable Aleatoria es X = 'ganancia posible'.
Suma xp y x2p:
| Probabilidad p |
Ganancias ($'000s) x |
xp |
x2p |
|---|---|---|---|
| 0.2 | -50 | -10 | 500 |
| 0.3 | 0 | 0 | 0 |
| 0.4 | 50 | 20 | 1000 |
| 0.1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Σxp = 25 | Σx2p = 3750 |
μ = Σxp = 25
Var(X) = Σx2p − μ2
= 3750 − 252
= 3750 − 625
= 3125
σ = √3125 = 56 (redondeado en enteros)
Pero recuerda que estos datos están en miles de dólares, así que:
- μ = $25,000
- σ = $56,000
Por lo tanto, puedes esperar ganar $25,000, pero con una desviación muy amplia posible.
Intentemos eso de nuevo, pero con una probabilidad mucho mayor de ganar $50,000:
Ejemplo (continuación):
Ahora con diferentes probabilidades (el valor de $50,000 tiene una alta probabilidad de 0.7 en esta ocasión):
| Probabilidad p |
Ganancias ($'000s) x |
xp |
x2p |
|---|---|---|---|
| 0.1 | -50 | -5 | 250 |
| 0.1 | 0 | 0 | 0 |
| 0.7 | 50 | 35 | 1750 |
| 0.1 | 150 | 15 | 2250 |
| Σp = 1 | Sumas: | Σxp = 45 | Σx2p = 4250 |
μ = Σxp = 45
Var(X) = Σx2p − μ2
= 4250 − 452
= 4250 − 2025
= 2225
σ = √2225 = 47 (redondeado en enteros)
En miles de dólares:
- μ = $45,000
- σ = $47,000
Y la desviación estándar es un poco más pequeña (lo que muestra que los valores son más centrales).
Continua
Las Variable Aleatorias pueden ser Discretas o Continuas:
- Los datos discretos solo pueden tomar ciertos valores (como 1,2,3,4,5)
- Los datos continuos pueden tomar cualquier valor dentro de un rango (como la altura de una persona)
Aquí miramos solo datos discretos, ya que encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de datos continuos requiere Integración.
Resumen
- Una Variable Aleatoria es una variable cuyos valores posibles son resultados numéricos de un experimento aleatorio.
- La Media (Valor Esperado) es: μ = Σxp
- La Varianza es: Var(X) = Σx2p − μ2
- La Desviación Estándar es: σ = √Var(X)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
