Teoremas de Círculos
Algunas cosas interesantes sobre ángulos y círculos.
Ángulo Inscrito
En primer lugar, una definición:
Ángulo Inscrito: un ángulo formado por puntos situados en la circunferencia del círculo.
A y C son "puntos extremos"
B es el "vértice"
Puedes jugar aquí:
Cuando mueves el punto "B", ¿qué pasa con el ángulo?
Teoremas del Ángulo Inscrito
Un ángulo inscrito a° es la mitad del ángulo central 2a°
(Se llama Teorema del Ángulo Central)
Y (manteniendo los puntos extremos fijos) ...
... el ángulo a° es siempre
el mismo,
no importa dónde se encuentre, mientras describa el mismo arco entre los
puntos extremos:
El ángulo a° es el mismo.
(Se llama Teorema del Ángulo Inscrito que Subtiende un Mismo Arco)
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo POQ? (O es el centro del círculo)
Ángulo POQ = 2 × Ángulo PRQ = 2 × 62° = 124°
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo CBX?
Ángulo ADB = 32° es igual al Ángulo ACB.
Y el Ángulo ACB también es igual al Ángulo XCB.
Así que en el triángulo BXC conocemos el valor del Ángulo BXC = 85° y
del Ángulo XCB = 32°
Ahora usa el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180°:
Ángulo en un semicírculo (Teorema de Tales)
Un ángulo inscrito a lo largo del diámetro de un círculo es siempre un ángulo recto:
(Los puntos extremos son los extremos del diámetro de un círculo.
El vértice puede estar en cualquier parte de la circunferencia).
¿Por qué? Porque: El ángulo inscrito 90° es la mitad del ángulo central 180° (Usando el "Teorema del Ángulo Central" de arriba). |
Otra buena razón por la que funciona
¡También podríamos rotar la figura 180° para hacer un rectángulo!
En efecto, es un rectángulo, porque todos los lados
son paralelos y ambas diagonales son iguales.
Por lo tanto, sus ángulos internos son todos ángulos rectos (90°).
¡Así que ahí lo tenemos! No importa dónde esté ese
ángulo
en la circunferencia, siempre es 90°
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo BAC?
El Ángulo en el Teorema del Semicírculo nos dice que el Ángulo ACB = 90°
Ahora usa que los ángulos de un triángulo suman 180° para encontrar el Ángulo BAC:
Encontrar el centro de un círculo
Podemos usar esta idea para encontrar el centro de un círculo:
- dibuja un ángulo recto desde cualquier lugar de la circunferencia del círculo, luego dibuja el diámetro donde los dos segmentos intersectan el círculo
- haz eso de nuevo pero para un diámetro diferente
¡El centro está en el punto de cruce de los diámetros!
Cuadrilátero cíclico
Un Cuadrilátero "cíclico" tiene todos sus vértices sobre la circunferencia de un círculo: |
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En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180°:
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Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo WXY?
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°
Ángulo tangenteUna línea tangente
solo toca al círculo en un punto. |
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).