Teoremas de Círculos

Algunas cosas interesantes sobre ángulos y círculos.

Ángulo Inscrito

En primer lugar, una definición:

Ángulo Inscrito: un ángulo formado por puntos situados en la circunferencia del círculo.

ángulo inscrito ABC
A y C son "puntos extremos"
B es el "vértice"

Puedes jugar aquí:

Cuando mueves el punto "B", ¿qué pasa con el ángulo?

Teoremas del Ángulo Inscrito

Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central 2a°

ángulo inscrito en una circunferencia, 2a en el centro
(Se llama Teorema del Ángulo Central)

Y (manteniendo los puntos extremos fijos) ...

... el ángulo es siempre el mismo,
no importa dónde se encuentre, mientras describa el mismo arco entre los puntos extremos:

el ángulo inscrito en la circunferencia siembre es "a"
El ángulo a° es el mismo.
(Se llama Teorema del Ángulo Inscrito que Subtiende un Mismo Arco)

 

Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo POQ? (O es el centro del círculo)

ángulo de 62 inscrito en la circunferencia

Ángulo POQ = 2 × Ángulo PRQ = 2 × 62° = 124°

Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo CBX?

ejemplo de ángulo inscrito

Ángulo ADB = 32° es igual al Ángulo ACB.

Y el Ángulo ACB también es igual al Ángulo XCB.

Así que en el triángulo BXC conocemos el valor del Ángulo BXC = 85° y del Ángulo XCB = 32°

Ahora usa el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180°:

Ángulo CBX + Ángulo BXC + Ángulo XCB = 180°
Ángulo CBX + 85° + 32° = 180°
Ángulo CBX = 63°

Ángulo en un semicírculo (Teorema de Tales)

Un ángulo inscrito a lo largo del diámetro de un círculo es siempre un ángulo recto:

ángulo inscrito a lo largo del diámetro es de 90 grados
(Los puntos extremos son los extremos del diámetro de un círculo.
El vértice puede estar en cualquier parte de la circunferencia).

¿Por qué? Porque:

El ángulo inscrito 90° es la mitad del ángulo central 180°

(Usando el "Teorema del Ángulo Central" de arriba).

ángulo inscrito en el diámetro de 90 grados y de 180 en el centro

 

Otra buena razón por la que funciona

rectángulo formado por dos ángulos inscritos

rectángulo formado por dos ángulos inscritos

¡También podríamos rotar la figura 180° para hacer un rectángulo!

En efecto, es un rectángulo, porque todos los lados son paralelos y ambas diagonales son iguales.

Por lo tanto, sus ángulos internos son todos ángulos rectos (90°).

 

ángulo inscrito en un semicírculo siempre mide 90
¡Así que ahí lo tenemos! No importa dónde esté ese ángulo
en la circunferencia, siempre es 90°

Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo BAC?

ejemplo de ángulo inscrito

El Ángulo en el Teorema del Semicírculo nos dice que el Ángulo ACB = 90°

Ahora usa que los ángulos de un triángulo suman 180° para encontrar el Ángulo BAC:

Ángulo BAC + 55° + 90° = 180°
Ángulo BAC = 35°

 

Encontrar el centro de un círculo

encontrando el centro de un círculo

Podemos usar esta idea para encontrar el centro de un círculo:

¡El centro está en el punto de cruce de los diámetros!

 

Cuadrilátero cíclico

Un Cuadrilátero "cíclico" tiene todos sus vértices sobre la circunferencia de un círculo:

cuadrilátero cíclico

En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180°:

  • a + c = 180°
  • b + d = 180°
cuadrilátero cíclico: a y c suman 180

Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo WXY?

ejemplo de ángulo inscrito

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°

Ángulo WZY + Ángulo WXY = 180°
69° + Ángulo WXY = 180°
Ángulo WXY = 111°

 

90 grados entre el radio y la tangente

Ángulo tangente

Una línea tangente solo toca al círculo en un punto.

Y siempre forma un ángulo recto con el radio del círculo.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).