Números Transcendentes

Número transcendente

Un número transcendente es un número que no es un número algebraico (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales).

Algunos ejemplos de números transcendentes son π y e

Números de Liouville

Ya en 1844, Joseph Liouville estudió este número:

= 0.11000100000000000000000100……
  (cada cifra es 1 si está n! posiciones después del punto decimal, y 0 si no.)

Es un número muy interesante porque:

  • es irracional, y
  • además no es solución de ninguna ecuación polinomial así que no es algebraico.

De hecho, Joseph Liouville acababa de encontrar el primer número transcendente que se podía demostrar que lo era.

Ese número se conoce ahora como la constante de Liouville. Y es un número de Liouville.

Un número de Liouville es un tipo especial de número transcendente que se puede aproximar muy de cerca con números racionales.

Más formalmente es un número real x, con la propiedad de que, para cada entero positivo n, existen dos enteros p y q (con q>1) que cumplen:

Ahora sabemos que x es irracional, así que siempre habrá alguna diferencia entre x y todos los p/q: por eso la parte de "0<".

Pero la segunda desigualdad te dice lo pequeña que es la diferencia. De hecho la desigualdad dice que "el número puede ser aproximado infinitamente, pero nunca se puede llegar". De hecho Liouville consiguió demostrar que si un número tiene aproximaciones racionales que se le acercan rápidamente, el número es transcendente.

Otra propiedad interesante es que para cada entero positivo n, existe un número infinito de pares de enteros (p,q) que cumplen la desigualdad.

Más números transcendentes

Hubo que esperar hasta 1873 para el primero número "no construido" que fuera transcendente, cuando Charles Hermite demostró que e es transcendente.

Después en 1884, Ferdinand von Lindemann publicó una prueba de que π es transcendente.

De hecho, demostrar que un número es transcendente es bastante difícil, aunque se sepa que son muy comunes...

Los números transcendentes son comunes

Casi todos los números reales son transcendentes. El argumento para verlo es:

  • Los números algebraicos son "numerables" (por decirlo simplemente, la lista de números enteros es "numerable", y puedes ordenar los números algebraicos para que vayan de par en par con los números enteros, así que también son numerables.)
  • Pero los números reales no son "numerables".
  • Y como cada número real es algebraico o transcendente, los transcendentes deben ser "no numerables".
  • Así que hay muchos más transcendentes que algebraicos.

Funciones transcendentes

Así como un número transcendente "no es algebraico", una función transcendente también es "no algebraica". Más formalmnte, una función transcendente es una función que no se puede construir en un número finito de pasos a partir de las funciones elementales y sus inversas, por ejemplo la función seno Sin(x).

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