Problemas Verbales de Desigualdades

(Tal vez quieras leer primero Introducción a las Desigualdades y Resolviendo Desigualdades)


En Álgebra tenemos preguntas de "desigualdad" como:

equipos de fútbol

Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado, Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.

¿Cuál es el número posible de goles que marcó Alex?

¿Cómo los resolvemos?

El truco es dividir la solución en dos partes:

Convierte el español en álgebra.

Luego usa el álgebra para resolver.

Convertir el español en álgebra

Para convertir el español en álgebra, nos ayuda:

¡También deberíamos escribir lo que realmente se está pidiendo, para saber a dónde vamos y cuándo hemos llegado!
 
La mejor manera de aprender esto es con un ejemplo, así que probemos nuestro primer ejemplo:

equipos de fútbol

Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado, Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.

¿Cuál es el número posible de goles que marcó Alex?

 

Asignar letras:


Sabemos que Alex anotó 3 goles más que Sam, así que: A = S + 3

Y sabemos que juntos marcaron menos de 9 goles: S + A < 9

Se nos pregunta cuántos goles pudo haber marcado Alex: A

 

Resolver:

Empieza con:S + A < 9
A = S + 3, luego:S + (S + 3) < 9
Simplifica:2S + 3 < 9
Resta 3 de ambos lados:2S < 9 − 3
Simplifica:2S < 6
Divide ambos lados por 2:S < 3

Sam anotó menos de 3 goles, lo que significa que Sam pudo haber marcado 0, 1 ó 2 goles.

Alex anotó 3 goles más que Sam, por lo que Alex podría haber marcado 3, 4 ó 5 goles.

 

Comprobación:

¡Muchos más ejemplos!

perritos

Ejemplo: De 8 cachorros, hay más hembras que machos.

¿Cuántas cachorritas podría haber?

Asignar letras:
Sabemos que hay 8 cachorros, entonces: h + m = 8, que se pueden reorganizar a
m = 8 − h

También sabemos que hay más hembras que machos, así que:

h > m

Nos preguntan la cantidad de cachorritas: h

Resuelve:

Empieza con:h > m
m = 8 − h, luego:h > 8 − h
Suma h de ambos lados:h + h > 8
Simplifica:2h > 8
Divide ambos lados por 2:h > 4

Entonces podría haber 5, 6, 7 u 8 cachorritas.

¿Podría haber 8 cachorritas? Entonces no habría machos en absoluto, y la pregunta no está clara en ese punto (a veces las preguntas son así).

Chequeo:

Un ejemplo rápido:

bicicleta

Ejemplo: Joel entra en una carrera donde tiene que andar en bicicleta y correr.

Pedalea una distancia de 25 km, y luego corre durante 20 km. Su rapidez de carrera promedio es la mitad de su rapidez de ciclismo promedio.

Joel completa la carrera en menos de 2½ horas, ¿qué podemos decir sobre sus rapideces promedio?

Asignar letras:

Fórmulas:

Nos preguntan por sus rapideces promedio: c y 2c

La carrera se divide en dos partes:

1. Ciclismo

2. Carrera

Joel completa la carrera en menos de 2½ horas

Resuelve:

Empieza con:252c + 20c < 2½
Multiplica todos los términos por 2c:25 + 40 < 5c
Simplifica:65 < 5c
Divide ambos lados por 5:13 < c
Voltea:c > 13

Por lo tanto, su rapidez promedio de carrera es mayor a 13 km/h y su rapidez promedio de ciclismo es mayor a 26 km/h.

En este ejemplo, podemos usar dos desigualdades a la vez:

lanzamiento de pelota de tenis

Ejemplo: La velocidad v m/s de una pelota lanzada directamente al aire viene dada por v = 20 - 10t, donde t es el tiempo en segundos.

¿A qué horas la velocidad estará entre 10 m/s y 15 m/s?

Letras:

Fórmula:

Se nos pregunta el tiempo t cuando v está entre 5 y 15 m/s:

10  <  v  <  15
10  <  20 − 10t  <  15

Resuelve:

Empieza con:10  <  20 − 10t  <  15
Resta 20 de cada uno:10 − 20  <  20 − 10t − 20  <  15 − 20
Simplifica:−10  < −10t  <  −5
Divide cada uno por 10:−1  < −t  <  −0.5
Cambia signos y revierte desigualdades:1  >  t  >  0.5
Es más ordenado mostrar el número más pequeño número, así que voltea:0.5  <  t  <  1

Entonces, la velocidad está entre 10 m/s y 15 m/s entre 0.5 y 1 segundos después.

Y un ejemplo razonablemente difícil de terminar:

Ejemplo: Dentro de una habitación rectangular caben al menos a 7 mesas, cada una de las cuales tiene 1 metro cuadrado de superficie. El perímetro de la sala es de 16m.

¿Cuál podría ser el ancho y el largo de la habitación?

tamaño de una habitación

Haz un boceto: no sabemos el tamaño de las mesas, solo su área, ¡pueden encajar perfectamente o no!

Asigna letras:

La fórmula del perímetro es 2(A + L), y sabemos que es 16 m

También sabemos que el área de un rectángulo es el ancho por el largo: Área = A × L

Y el área debe ser mayor o igual a 7:

Se nos solicitan los posibles valores de A y L

 

Vamos a resolver:

Empieza con:A × L ≥ 7
Sustituye L = 8 − A:A × (8 − A) ≥ 7
Desarrolla:8A − A2 ≥ 7
Trae todos los términos al lado izquierdo:A2 − 8A + 7 ≤ 0

Ésta es una desigualdad cuadrática. Se puede resolver de muchas maneras, aquí lo resolveremos completando el cuadrado:

Mueve el término numérico −7 al lado derecho de la desigualdad:A2 − 8A ≤ −7
Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la desigualdad y equilibra esto sumando el mismo valor al lado derecho de la desigualdad:A2 − 8A + 16 ≤ −7 + 16
Simplifica:(A − 4)2 ≤ 9
Saca la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad:−3 ≤ A − 4 ≤ 3

Sí, tenemos dos desigualdades, porque 32 = 9 Y (−3)2 = 9

Suma 4 a ambos lados de cada desigualdad:1 ≤ A ≤ 7

Por lo tanto, el ancho debe estar entre 1m y 7m (inclusive) y el largo es de 8−A.

 

Comprobación:

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).