Factorizando en Álgebra

Factores

Los números tienen factores:

factores 2x3=6

Y expresiones (como x2+4x+3) también tienen factores:

factores

Factorizando

Factorizar es el proceso de encontrar los factores:

Factorizar: encontrar qué multiplicar para obtener una expresión.

Es como "separar" una expresión en una multiplicación de expresiones más simples.

Ejemplo: factoriza 2y+6

2y y 6 tienen al 2 como factor común:

Entonces podemos factorizar toda la expresión en:

2y+6 = 2(y+3)

De modo que 2y+6 ha sido "factorizada en" 2 y y+3

Factorizar es lo opuesto a Desarrollar:

desarrollar vs factorizar

Factor común

En el ejemplo anterior vimos que 2y y 6 tenían un factor común de 2

Pero para hacer el trabajo correctamente, necesitamos el factor común más grande, incluidas las variables

Ejemplo: factoriza 3y2+12y

En primer lugar, 3 y 12 tienen un factor común de 3.

Entonces podríamos tener:

3y2+12y = 3(y2+4y)

¡Pero nosotros podemos hacerlo mejor!

3y2 y 12y también comparten la variable y.

Juntos tenemos 3y:

 

Entonces podemos factorizar toda la expresión en:

3y2+12y = 3y(y+4)

 

Comprobación: 3y(y+4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y2+12y

Factorización más complicada

¡Factorizar puede ser difícil!

Los ejemplos han sido simples hasta ahora, pero factorizar puede ser muy complicado.

¡Porque tenemos que descubrir lo que se multiplicó para producir la expresión que se nos da!

 

factorizando un pastel
Es como tratar de encontrar qué ingredientes
entraron en un pastel para hacerlo tan delicioso.

¡Puede ser difícil de descifrar!

La experiencia ayuda

Con más experiencia, factorizar se vuelve más fácil.

Ejemplo: Factoriza 4x2 − 9

Hmmm ... no parece haber ningún factor común.

Pero conociendo los Productos Especiales de Binomios nos da una pista que se llama "diferencia de cuadrados":

diferencia de cuadrados

Porque 4x2 es (2x)2, y 9 es (3)2,

Así que tenemos:

4x2 − 9 = (2x)2 − (3)2

Y eso puede ser producido por la fórmula de la diferencia de cuadrados:

(a+b)(a−b) = a2 − b2

Donde a es 2x, y b es 3.

Así que intentemos hacer eso:

(2x+3)(2x−3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9

¡Sí!

 

Así que los factores de 4x2 − 9 son (2x+3) y (2x−3):

Respuesta: 4x2 − 9 = (2x+3)(2x−3)

¿Cómo puedes aprender a hacer eso? ¡Obteniendo mucha práctica y conociendo "Identidades"!

 

Recuerda estas identidades

Aquí hay una lista de "Identidades" comunes (incluida la "diferencia de cuadrados" utilizada anteriormente).

Vale la pena recordarlos, ya que pueden facilitar la factorización.

factorizar desarrollar
a2 − b2  =  (a+b)(a−b)
a2 + 2ab + b2  =  (a+b)(a+b)
a2 − 2ab + b2  =  (a−b)(a−b)
a3 + b3  =  (a+b)(a2−ab+b2)
a3 − b3  =  (a−b)(a2+ab+b2)
a3+3a2b+3ab2+b3  =  (a+b)3
a3−3a2b+3ab2−b3  =  (a−b)3

Hay muchos más como esos, pero estos son los más útiles.

Consejo

La forma factorizada suele ser la mejor.

Cuando intentes factorizar, sigue estos pasos:

También hay Sistemas de Álgebra Computacional (llamados "CAS" por sus siglas en inglés) como Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce y muchos más que son buenos para factorizar.

Más ejemplos

La experiencia ayuda, así que aquí hay más ejemplos para ayudarte en el camino:

Ejemplo: w4 − 16

¿Un exponente de 4? Tal vez podríamos probar un exponente de 2:

w4 − 16 = (w2)2 − 42

Si, es la diferencia de cuadrados

w4 − 16 = (w2 + 4)(w2 − 4)

Y "(w2 − 4)" es otra diferencia de cuadrados

w4 − 16 = (w2 + 4)(w + 2)(w − 2)

Eso es lo más lejos que se puede llegar (a menos que usen números imaginarios).

Ejemplo: 3u4 − 24uv3

Elimina el factor común "3u":

3u4 − 24uv3 = 3u(u3 − 8v3)

Luego tenemos una diferencia de cubos:

3u4 − 24uv3 = 3u(u3 − (2v)3)

= 3u(u−2v)(u2+2uv+4v2)

Eso es lo más lejos que puedo llegar.

Ejemplo: z3 − z2 − 9z + 9

Intenta factorizar los dos primeros y los segundos dos por separado:

z2(z−1) − 9(z−1)

Wow, (z-1) está en ambos, así que usemos eso:

(z2−9)(z−1)

Y z2−9 es una diferencia de cuadrados

(z−3)(z+3)(z−1)

Eso es lo más lejos que puedo llegar.


¡Para que obtengas más experiencia intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: se requiere un poco de conocimiento del idioma inglés, pero te animo a intentarlo).