Polinomios: Acotando los Ceros
Una forma inteligente de saber dónde buscar raíces.
Un Polinomio se ve así:
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| ejemplo de un polinomio este tiene 3 términos |
Un polinomio tiene coeficientes:
Los términos están en orden de mayor a menor exponente
(Técnicamente el 7 es una constante, pero aquí es más fácil pensar en todos ellos como coeficientes).
Un polinomio también tiene raíces:
Una "raíz" (o "cero") es donde el polinomio es igual a cero.
Ejemplo: 3x − 6 es igual a cero cuando x=2, porque 3(2)−6 = 6−6 = 0
¿Dónde están las raíces (ceros)?
¡A veces puede ser difícil encontrar dónde están las raíces!
... ¿dónde debemos buscar? ... ¿qué tan lejos debemos ir a la izquierda o a la derecha?
Aquí veremos una forma inteligente de saber dónde buscar estas raíces.
¡Y solo requiere aritmética simple!
Pasos
Primero preparamos nuestros datos:
- El coeficiente principal debe ser 1. Si no lo es, divide cada término del polinomio entre el coeficiente principal
- Escribe todos los coeficientes, incluyendo 0 para cualquier potencia que falte
- ¡Luego descarta el coeficiente principal!
- Elimina los signos negativos
- Y ahora tenemos una lista de valores para el siguiente paso
Ahora podemos calcular dos "cotas" diferentes usando esos valores:
- Cota 1: El mayor valor, más 1
- Cota 2: La suma de todos los valores, o 1, el que sea mayor
La más pequeña de esas 2 cotas es nuestra respuesta ...
... todas las raíces se encuentran a esa distancia de 0
- Para las raíces reales, se encuentran entre −Cota y +Cota
- Para las raíces complejas, se encuentran dentro de un círculo de radio Cota en el plano complejo
Ejemplos
Ejemplo: x3 + 2x2 − 5x + 1
El coeficiente principal es 1, así que podemos continuar.
Los coeficientes son: 1, 2, −5, 1
Descarta el coeficiente principal y elimina cualquier signo menos: 2, 5, 1
- Cota 1: el valor más grande es 5. Más 1 = 6
- Cota 2: sumar todos los valores da: 2+5+1 = 8
La cota más pequeña es 6
Todas las raíces reales están entre −6 y +6
Así que podemos graficar entre −6 y 6 y encontrar cualquier raíz real. Es mejor graficar con un intervalo un poco más amplio para ver si una curva tiene raíces justo en −6 o 6:
Ejemplo: 10x5 + 2x3 − x2 − 3
El coeficiente principal es 10, así que debemos dividir todos los términos entre 10:
x5 + 0.2x3 − 0.1x2 − 0.3
Los coeficientes son: 1, 0, 0.2, −0.1, 0, −0.3
Descarta el coeficiente principal y elimina cualquier signo menos: 0, 0.2, 0.1, 0, 0.3
- Cota 1: el valor más grande es 0.3. Más 1 = 1.3
- Cota 2: sumar todos los valores da: 0.2+0.1+0.3 = 0.6, que es menor que 1, por lo que la respuesta es 1
La más pequeña es 1.
Todas las raíces (reales y complejas) tienen magnitudes entre −1 y +1
Notas
"Cota 1" y "Cota 2" no son las únicas formas de encontrar las cotas de las raíces, ¡pero son fáciles de usar!
También ten en cuenta: graficar polinomios solo permite encontrar raíces Reales, pero también puede haber raíces Complejas. Todas las raíces (reales y complejas) estarán dentro de las cotas calculadas anteriormente, en términos de magnitud.