Propiedad del Producto Cero
La "Propiedad del Producto Cero" dice:
Si a × b = 0
entonces a = 0 o
b = 0
(o ambos a=0 y b=0)
Puede ayudarnos a resolver ecuaciones:
Ejemplo: Resolver (x−5)(x−3) = 0
La "Propiedad del Producto Cero" dice:
Si (x−5)(x−3) = 0 entonces (x−5) = 0 o (x−3) = 0
Ahora solo resolvemos cada una de ellas:
Para (x−5) = 0 obtenemos x = 5
Para (x−3) = 0 obtenemos x = 3
Y las soluciones son:
x = 5, o x = 3
Aquí está en una gráfica:
y=0 cuando x=3 o x=5
Forma Estándar de una ecuación
A veces podemos resolver una ecuación poniéndola en Forma Estándar y luego usando la Propiedad del Producto Cero:
La "Forma Estándar" de una ecuación es:
(alguna expresión) = 0
En otras palabras, el "= 0" está a la derecha, y todo lo demás está a la izquierda.
Ejemplo: Pon x2 = 7 en Forma Estándar
Respuesta:
x2 − 7 = 0
Esto funciona porque al tener la ecuación igualada a 0, podemos identificar sus factores. Si el producto de los factores es 0, entonces uno o más de esos factores debe ser 0.
Forma Estándar y la Propiedad del Producto Cero
Vamos a probarlo:
Ejemplo: Resolver 5(x+3) = 5x(x+3)
Podríamos sentir la tentación de dividir por (x+3), pero esto significaríadividir entre cero cuando x = −3.
Así que, en su lugar, podemos usar la "Forma Estándar":
5(x+3) − 5x(x+3) = 0
Que se puede simplificar a:
(5−5x)(x+3) = 0
5(1−x)(x+3) = 0
Entonces, la "Propiedad del Producto Cero" dice:
(1−x) = 0, o (x+3) = 0
Y las soluciones son:
x = 1, o x = −3
Y otro ejemplo:
Ejemplo: Resolver x3 = 25x
Es tentador dividir por x, pero eso es dividir por cero cuando x = 0.
Así que usemos la Forma Estándar y la Propiedad del Producto Cero.
Pasa todo al lado izquierdo:
x3 − 25x = 0
Factoriza x:
x(x2 − 25) = 0
x2 − 25 es una diferencia de cuadrados, y se puede factorizar en (x − 5)(x + 5):
x(x − 5)(x + 5) = 0
Ahora podemos ver tres formas posibles en las que el resultado podría ser cero:
x = 0, o x = 5, o x = −5
Resumen de pasos
- Paso 1: Escribe la ecuación en Forma Estándar (igualada a 0).
- Paso 2: Intenta factorizar, si es posible.
- Paso 3: Si se factorizó, usa la Propiedad del Producto Cero (iguala cada factor a 0).
- Paso 4: Si no se puede factorizar, intenta otros métodos (ver Resolución de ecuaciones).
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
