Directamente Proporcional e Inversamente Proporcional
Directamente proporcional: a medida que aumenta una cantidad, otra
cantidad aumenta a la misma velocidad.
| ∝ | El símbolo de "directamente
proporcional" es ∝ (No confundir con el signo de infinito ∞) |
Ejemplo: te pagan $20 por hora
Cuánto ganas es directamente proporcional a cuántas horas
trabajas
Trabaja más horas, recibe más paga; en proporción directa.
Esto podría escribirse:
Salario ∝ Horas trabajadas
- Si trabajas 2 horas te pagan $40
- Si trabajas 3 horas te pagan $ 60
- etc ...
Constante de Proporcionalidad
La "constante de proporcionalidad" es el valor que relaciona las dos cantidades.
Ejemplo: te pagan $20 por hora (continuación)
La constante de proporcionalidad es 20 porque:
Salario = 20 × Horas trabajadas
Esto podría escribirse:
y = kx
Donde k es la constante de proporcionalidad
Ejemplo: y es directamente proporcional a x, y cuando x=3 entonces y=15. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Son directamente proporcionales, así que:
Ponemos lo que ya sabemos (y=15 y x=3):
Resolvemos (dividiendo ambos lados entre 3):
La constante de proporcionalidad es 5:
y = 5x
Cuando conocemos la constante de proporcionalidad, podemos responder otras preguntas.
Ejemplo: (continuación)
¿Cuál es el valor de y cuando x = 9?
¿Cuál es el valor de x cuando y = 2?
Inversamente Proporcional
| Inversamente Proporcional: cuando un valor disminuye al mismo ritmo que el otro aumenta. |
Ejemplo: rapidez y tiempo de viaje
La rapidez y el tiempo de viaje son inversamente proporcionales porque cuanto más rápido vamos, más corto es el tiempo.
- A medida que aumenta la rapidez, disminuye el tiempo de viaje
- Y a medida que disminuye la rapidez, aumenta el tiempo de viaje
y = kx
Ejemplo: 4 personas pueden pintar una cerca en 3 horas.
¿Cuánto tiempo tardarán 6 personas en pintarlo?
(Supón que todos trabajan al mismo ritmo)
Es una proporción inversa:
- A medida que aumenta el número de personas, disminuye el tiempo para pintar.
- A medida que disminuye el número de personas, aumenta el tiempo para pintar.
Podemos usar:
t = k/n
Donde:
- t = número de horas
- k = constante de proporcionalidad
- n = número de personas
"4 personas pueden pintar una cerca en 3 horas" significa que t = 3 cuando n = 4
Entonces ahora sabemos:
Y cuando n = 6:
Entonces 6 personas tomarán 2 horas para pintar la cerca.
¿Cuántas personas se necesitan para completar el trabajo en media hora?
Por lo tanto, se necesitan 24 personas para completar el trabajo en
media hora.
(¡Suponiendo que no se interpongan entre sí!)
Proporcional a ...
¡También es posible ser proporcional a un cuadrado, un cubo, una exponencial u otra función!
Ejemplo: Proporcional a x2
Se deja caer una piedra desde lo alto de una torre alta.
La distancia que cae es proporcional al cuadrado del tiempo de
caída.
La piedra cae 19.6 m después de 2 segundos, ¿qué tan lejos cae después
de 3 segundos?
Podemos usar:
d = kt2
Donde:
- d es la distancia que ha caído
- t es el tiempo de caída
Cuando d = 19.6 se tiene que t = 2
Así que ahora sabemos:
d = 4.9t2
Y cuando t = 3:
Entonces ha caído 44.1 m después de 3 segundos.
Cuadrado Inverso
Cuadrado inverso: cuando un valor disminuye como el cuadrado del otro valor.
Ejemplo: luz y distancia
Cuanto más lejos estamos de una luz, menos brillante es.
De hecho, el brillo disminuye a medida del cuadrado de la
distancia. Porque la luz se está extendiendo en todas las direcciones.
Entonces, un brillo de "1" a 1 metro es solo "0.25" a 2 metros (el
doble de la distancia conduce a un cuarto del brillo), y así
sucesivamente.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
