Teorema Fundamental del Álgebra
El "Teorema Fundamental del Álgebra" no es el comienzo del álgebra ni nada por el estilo, pero sí dice algo interesante sobre polinomios:
Cualquier polinomio de grado n tiene n raíces
pero es posible que necesitemos usar números complejos
Permíteme explicar:
Un Polinomio se ve así:
 |
| ejemplo de un polinomio este tiene 3 términos |
Una "raíz" (o "cero") es donde el polinomio es igual a cero.
Entonces, un polinomio de grado 3 tendrá 3 raíces (lugares donde el polinomio es igual a cero). Un polinomio de grado 4 tendrá 4 raíces. Y así sucesivamente.
Ejemplo: ¿cuáles son las raíces de x2 − 9?
x2 − 9 tiene grado 2 (el exponente más grande de x es 2), por lo que hay 2 raíces.
Vamos a resolverlo. Una raíz es donde es igual a cero:
Suma 9 a ambos lados:
Luego toma la raíz cuadrada de ambos lados:
Así que las raíces son −3 y +3
Como prometimos, un grado de 2 tiene 2 raíces.
Y hay otra cosa interesante:
Un polinomio se puede reescribir así:
Ejemplo: x2 − 9 (continuación)
Las raíces son r1 = −3 y r2 = +3 (como descubrimos arriba), por lo que los factores son:
(en este caso a es igual a 1, así que no lo puse)
Los Factores Lineales son (x+3) y (x−3)
Por lo tanto, cuando conocemos las raíces también conocemos los factores.
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo: 3x2 − 12
Es de grado 2, por lo que hay 2 raíces.
Encontremos las raíces: queremos que sea igual a cero:
3 y 12 tienen un factor común de 3:
Podemos resolver x2 − 4 pasando el −4 a la derecha y sacando raíces cuadradas:
Por lo tanto, las raíces son:
x = −2 y x = +2
Y entonces los factores son:
3x2 − 12 = 3(x+2)(x−2)
Del mismo modo, cuando conocemos los factores de un polinomio también conocemos las raíces.
Ejemplo: 3x2 − 18x+ 24
Es de grado 2, por lo que hay 2 factores.
3x2 − 18x+ 24 = a(x−r1)(x−r2)
Casualmente sé que esta es la factorización:
3x2 − 18x+ 24 = 3(x−2)(x−4)
Y entonces las raíces (ceros) son:
- +2
- +4
Comprobemos esas raíces:
3(2)2 − 18(2)+ 24 = 12 − 36 + 24 = 0
3(4)2 − 18(4)+ 24 = 48 − 72 + 24 = 0
¡Sí! El polinomio es cero en x = +2 y x = +4
Números Complejos
Es posible que necesitemos usar números complejos para hacer que el polinomio sea igual a cero.
Un Número Complejo es una combinación de
- un Número Real
- y un Número Imaginario
Y aquí hay un ejemplo:
Ejemplo: x2 − x + 1
¿Podemos hacer que sea igual a cero?
x2 − x + 1 = 0
Usando el Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas la respuesta (a 3 decimales) es:
| 0.5 − 0.866i | y | 0.5 + 0.866i |
¡Son números complejos! Pero aún así funcionan.
Y entonces los factores son:
x2 − x + 1 = ( x − (0.5−0.866i ) )( x − (0.5+0.866i ) )
Pares Complejos
De modo que las raíces r1, r2, ... y así sucesivamente pueden ser Números Reales o Complejos.
Pero hay algo interesante...
¡Las raíces complejas siempre vienen en pares!
Lo vimos en nuestro ejemplo anterior:
Ejemplo: x2 − x + 1
Tiene estas raíces:
| 0.5 − 0.866i | y | 0.5 + 0.866i |
El par en realidad son conjugados complejos (donde cambiamos el signo del medio) como este:
¿Siempre en pares? Sí. A menos que el polinomio tenga coeficientes complejos, ¡pero aquí solo estamos viendo polinomios con coeficientes reales!
Así que o bien tenemos:
- ninguna raíz compleja
- 2 raíces complejas
- 4 raíces complejas,
- y así sucesivamente
Y nunca 1, 3, 5, y así sucesivamente.
Lo que significa que automáticamente sabemos esto:
| Grado | Raíces | Combinaciones Posibles |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 raíz real |
| 2 | 2 | 2 raíces reales, o 2 raíces complejas |
| 3 | 3 | 3 raíces reales, o 1 raíz real y 2 raíces complejas |
| 4 | 4 | 4 raíces reales, o 2 raíces reales y 2 raíces complejas, o 4 raíces complejas |
| ... | ... | ¡y así sucesivamente! |
De modo que:
Cuando el grado es impar (1, 3, 5, y así sucesivamente), hay al menos una raíz real ... ¡garantizado!
Ejemplo: 3x − 6
El grado es 1.
Hay una raíz real
De hecho, en +2:
De hecho, puedes ver que debe pasar por el eje x en algún momento.
¡Pero lo real también es complejo!
He estado diciendo "Real" y "Complejo", pero los Números Complejos sí incluyen a los Números Reales.
Así que cuando digo que hay "2 raíces reales y 2 raíces complejas", debería decir algo como "2 raíces puramente reales (sin parte imaginaria) y 2 raíces complejas (con una parte imaginaria distinta de cero)" ...
... pero son muchas palabras que suenan confusas ...
... así que espero que no te importe mi lenguaje informal.
¿No quieres números complejos?
Si no queremos números complejos, podemos multiplicar pares de raíces complejas entre sí:
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2
Obtenemos una Ecuación Cuadrática sin números complejos... es puramente real.
Ese tipo de cuadrática (donde no podemos "reducirla" más sin usar números complejos) se llama cuadrática irreducible.
Y recuerda que los factores simples como (x−r1) se llaman Factores Lineales.
Por lo tanto, un polinomio se puede factorizar en todos los valores reales usando:
- Factores Lineales, y
- Cuadráticas Irreducibles
Ejemplo: x3 − 1
x3 − 1 = (x−1)(x2+x+1)
Se ha factorizado en:
- 1 factor lineal: (x−1)
- 1 factor cuadrático irreducible: (x2+x+1)
Para factorizar (x2+x+1) aún más necesitamos usar números complejos, por lo que es una "cuadrática irreducible".
¿Cómo sabemos si la cuadrática es irreducible?
Simplemente calcula el "discriminante": b2 − 4ac
(Lee Ecuaciones Cuadráticas para aprender más sobre el discriminante).
Cuando b2 − 4ac es negativo, la cuadrática tiene soluciones complejas,
y por lo tanto es "irreducible"
Ejemplo: 2x2 + 3x + 5
a = 2, b = 3, y c = 5:
b2 − 4ac = 32 − 4×2×5 = 9−40 = −31
El discriminante es negativo, por lo que es una "cuadrática irreducible"
Multiplicidad
A veces un factor aparece más de una vez. Esa es su Multiplicidad.
Ejemplo: x2 − 6x + 9
x2 − 6x + 9 = (x−3)(x−3)
"(x−3)" aparece dos veces, por lo que la raíz "3" tiene una Multiplicidad de 2
Las multiplicidades se incluyen cuando decimos "un polinomio de grado n tiene n raíces".
Ejemplo: x4 + x3
Debería haber 4 raíces (y 4 factores), ¿verdad?
Factorizar es fácil, solo saca el factor común x3:
x4 + x3 = x3(x+1) = x·x·x·(x+1)
hay 4 factores, con "x" apareciendo 3 veces.
Pero parece que solo hay 2 raíces, en x=−1 y x=0:
Pero contando las multiplicidades, en realidad hay 4:
- "x" aparece tres veces, por lo que la raíz "0" tiene una Multiplicidad de 3
- "x+1" aparece una vez, por lo que la raíz "−1" tiene una Multiplicidad de 1
Total = 3+1 = 4
Juega con la gráfica aquí:
Resumen
- Un polinomio de grado n tiene n raíces (donde el polinomio es cero)
- Un polinomio se puede factorizar como: a(x−r1)(x−r2)... donde r1, y así sucesivamente, son las raíces
- Las raíces pueden necesitar ser Números Complejos
- Las raíces complejas siempre vienen en pares
- Multiplicar un par complejo da una Cuadrática Irreducible
- Por lo tanto, un polinomio se puede factorizar en factores totalmente reales que son:
- Factores Lineales o
- Cuadráticas Irreducibles
- A veces un factor aparece más de una vez. Esa es su Multiplicidad