Dígitos binarios

perrito con 0 y 1 Un dígito binario solo puede ser 0 o 1

Números binarios

Un número binario está hecho
de dígitos binarios.


  binario 110

En el mundo de los ordenadores "dígito binario" se suele abreviar con la palabra "bit".


Más de un dígito

Así que si un dígito solo tiene dos valores posibles (como "0" y "1", o "On" y "Off"), ¿cuántas combinaciones hay con 2 o más dígitos binarios?

Vamos a escribirlas todas, empezando por 1 dígito (puedes probar tú mismo pulsando los interruptores):

2 formas de tener un dígito ...
switch
0
1
... 4 formas de tener dos dígitos ...
switch switch
0 0 00
1 01
1 0 10
1 11
... 8 formas de tener tres dígitos ...
switch switch switch
0 0 0 000
1 001
1 0 010
1 011
1 0 0 100
1 101
1 0 110
1 111
... y 16 formas de tener cuatro dígitos.
switch switch switch switch
0 0 0 0 0000
1 0001
1 0 0010
1 0011
1 0 0 0100
1 0101
1 0 0110
1 0111
1 0 0 0 1000
1 1001
1 0 1010
1 1011
1 0 0 1100
1 1101
1 0 1110
1 1111

Aquí está la última lista escrita horizontalmente:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Y (sin los 0's a la izquierda) tenemos los primeros 16 números binarios:

Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

¡Esto es útil! Para recordar la secuencia de números binarios, simplemente piensa:

En cada etapa repetimos todo lo que tenemos hasta ahora, pero con un 1 al frente.

Ahora descubre cómo usar binario para contar más de 1,000 con tus dedos:

Actividad: Dedos binarios
hexadecimal Diviértete jugando con la batería hexadecimal.

Doblar cifras binarias

Fíjate también en que cada vez que pones una cifra binaria más, se doblan las posibilidades.

¿Por qué el doble? Porque tienes que tomar todas las posiciones anteriores y hacerlas corresponder con un "0" y un "1" como hicimos antes.

Usando exponentes, esto lo podemos escribir así:

Número de dígitos Fórmula Posiciones
1 21 2
2 22 4
3 23 8
4 24 16
5 25 32
6 26 64
etc... etc... etc...

Ejemplo: si tienes 50 dígitos binarios (o 50 cosas que pueden tener cada una dos posiciones), ¿de cuántas maneras diferentes puedes hacerlo?

Respuesta: 250 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ... (cincuenta factores)
= 1,125,899,906,842,624

Así que un número binario con 50 dígitos puede tener 1,125,899,906,842,624 valores diferentes.

O por decirlo de otra manera, podría indicar un número hasta 1,125,899,906,842,623 (fíjate en que es uno menos que el número total de valores, porque uno de los valores es 0).

Ejemplo: Comienza el mes con $ 1 y duplícalo todos los días, ¡después de 30 días serás multimillonario!

230 = 2 × 2 × 2 × 2 ... (treinta factores)
= 1,073,741,824

Tablero de ajedrez

tablero de ajedrez

Hay una antigua leyenda india sobre un rey al que un sabio que visitaba su reino retó a jugar al ajedrez. El rey preguntó: "¿cuál es el premio si ganas?".

El sabio dijo que solo quería un poco de arroz: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera y así sucesivamente, cada vez el doble. El rey se sorprendió por la humilde solicitud.

Pues el sabio ganó, así que ¿cuántos granos de arroz debería recibir?

En la primera casilla: 1 grano. En la segunda: 2 granos (3 en total) y así sucesivamente:

Casilla Granos Total
1 1 1
2 2 3
3 4 7
4 8 15



10 512 1,027



20 524,288
1,048,575



30 53,6870,912
1,073,741,823



64 ???
???

¡Cuando andes por la casilla 30 ya habrás visto que es muchísimo arroz! Mil millones de granos pesarían unas 25 toneladas (1,000 granos pesan unos 25 gramos, los he pesado).

Fíjate en que el Total por cada casilla es 1 menos que los Granos de la siguiente (ejemplo: en la casilla 3 el total acumulado es 7, y la casilla 4 tiene 8 granos). Así que el total en todas las casillas sigue la fórmula 2n−1, donde n es el número de la casilla. Por ejemplo, para la casilla 3, el total es 23−1 = 8−1 = 7

Así que para rellenar las 64 casillas del tablero de ajedrez necesitaríamos:

264−1 = 18,446,744,073,709,551,615 granos (460 mil millones de toneladas de arroz), muchas veces más arroz del que hay en todo el reino. 

Así que el poder de doblar en binario no hay que tomarlo a la ligera (¡460 mil millones de toneladas no es nada ligero!)

tablero de ajedrez
Cantidad de granos de arroz en cada cuadrado usando notación científica
Los valores están redondeados, por lo que 53,6870,912 se muestra como solo 5×108
lo que significa un 5 seguido de 8 ceros

(Por cierto, en la leyenda el sabio se descubre para mostrar que es Krishna y le dice al rey que no tiene que pagar inmediatamente: puede pagar la deuda poco a poco, dando arroz a los peregrinos hasta que esté pagada.)

Hexadecimal

Para terminar, me gustaría hablarte de la relación especial entre binario y hexadecimal.

Hay 16 dígitos hexadecimales, y ya sabemos que 4 cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relación exacta entre ellos es:

Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Así que cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los números binarios), es mucho más fácil usar un solo dígito hexadecimal en lugar de 4 dígitos binarios.

Por ejemplo, el número binario "100110110100" es "9B4" en hexadecimal. ¡Yo sé cuál prefiero escribir!