Dígitos binarios
Un dígito binario solo puede ser 0 o 1 |
Números binariosUn número binario
está hecho
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En el mundo de los ordenadores "dígito binario" se suele abreviar con la palabra "bit".
Más de un dígito
Así que si un dígito solo tiene dos valores posibles (como "0" y "1", o "On" y "Off"), ¿cuántas combinaciones hay con 2 o más dígitos binarios?
Vamos a escribirlas todas, empezando por 1 dígito (puedes probar tú mismo pulsando los interruptores):
2 formas de tener un dígito ... |
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... 4 formas de tener dos dígitos ... |
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... 8 formas de tener tres dígitos
... |
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... y 16 formas de tener cuatro
dígitos. |
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Aquí está la última lista escrita horizontalmente:
0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Y (sin los 0's a la izquierda) tenemos los primeros 16 números binarios:
Binario: | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Decimal: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
¡Esto es útil! Para recordar la secuencia de números binarios, simplemente piensa:
- "0" y "1" {0,1}
- luego repite "0" y "1" de nuevo, pero con un "1" al frente: {0,1,10,11}
- luego repite esos que tienen un "1" al frente: {0,1,10,11,100,101,110,111}
- ¡etcétera!
En cada etapa repetimos todo lo que tenemos hasta ahora, pero con un 1
al frente.
Ahora descubre cómo usar binario para contar más de 1,000 con tus dedos:
Diviértete jugando con la batería hexadecimal. |
Doblar cifras binarias
Fíjate también en que cada vez que pones una cifra binaria más, se doblan las posibilidades.¿Por qué el doble? Porque tienes que tomar todas las posiciones anteriores y hacerlas corresponder con un "0" y un "1" como hicimos antes.
- Entonces, un solo dígito binario tiene 2 valores posibles (0 y 1)
- Dos dígitos binarios tienen 4 valores posibles (0, 1, 10, 11)
- Tres tienen 8 valores posibles
- Cuatro tienen 16 valores posibles
- Cinco tienen 32 valores posibles
- Seis tienen 64 valores posibles
- etc.
Usando exponentes, esto lo podemos escribir así:
Número de dígitos | Fórmula | Posiciones |
---|---|---|
1 | 21 | 2 |
2 | 22 | 4 |
3 | 23 | 8 |
4 | 24 | 16 |
5 | 25 | 32 |
6 | 26 | 64 |
etc... | etc... | etc... |
Ejemplo: si tienes 50 dígitos binarios (o 50 cosas que pueden tener cada una dos posiciones), ¿de cuántas maneras diferentes puedes hacerlo?
Respuesta: 250 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ...
(cincuenta factores)
= 1,125,899,906,842,624
Así que un número binario con 50 dígitos puede tener 1,125,899,906,842,624 valores diferentes.
O por decirlo de otra manera, podría indicar un número hasta 1,125,899,906,842,623 (fíjate en que es uno menos que el número total de valores, porque uno de los valores es 0).
Ejemplo: Comienza el mes con $ 1 y duplícalo todos los días, ¡después de 30 días serás multimillonario!
230 = 2 × 2 × 2 × 2 ... (treinta factores)
= 1,073,741,824
Tablero de ajedrez
Hay una antigua leyenda india sobre un rey al que un sabio que visitaba su reino retó a jugar al ajedrez. El rey preguntó: "¿cuál es el premio si ganas?".
El sabio dijo que solo quería un poco de arroz: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera y así sucesivamente, cada vez el doble. El rey se sorprendió por la humilde solicitud.
Pues el sabio ganó, así que ¿cuántos granos de arroz debería recibir?
En la primera casilla: 1 grano. En la segunda: 2 granos (3 en total) y así sucesivamente:
Casilla | Granos | Total |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 3 |
3 | 4 | 7 |
4 | 8 | 15 |
10 | 512 | 1,027 |
20 | 524,288 |
1,048,575 |
30 | 53,6870,912 |
1,073,741,823 |
64 | ??? |
??? |
¡Cuando andes por la casilla 30 ya habrás visto que es muchísimo arroz! Mil millones de granos pesarían unas 25 toneladas (1,000 granos pesan unos 25 gramos, los he pesado).
Fíjate en que el Total por cada casilla es 1 menos que los Granos de la siguiente (ejemplo: en la casilla 3 el total acumulado es 7, y la casilla 4 tiene 8 granos). Así que el total en todas las casillas sigue la fórmula 2n−1, donde n es el número de la casilla. Por ejemplo, para la casilla 3, el total es 23−1 = 8−1 = 7
Así que para rellenar las 64 casillas del tablero de ajedrez necesitaríamos:
264−1 = 18,446,744,073,709,551,615 granos (460 mil millones de toneladas de arroz), muchas veces más arroz del que hay en todo el reino.
Así que el poder de doblar en binario no hay que tomarlo a la ligera (¡460 mil millones de toneladas no es nada ligero!)
Cantidad de granos de arroz en cada cuadrado usando notación
científica
Los valores están redondeados, por lo que 53,6870,912 se muestra como
solo 5×108
lo que significa un 5 seguido de 8 ceros
(Por cierto, en la leyenda el sabio se descubre para mostrar que es Krishna y le dice al rey que no tiene que pagar inmediatamente: puede pagar la deuda poco a poco, dando arroz a los peregrinos hasta que esté pagada.)
Hexadecimal
Para terminar, me gustaría hablarte de la relación especial entre binario y hexadecimal.
Hay 16 dígitos hexadecimales, y ya sabemos que 4 cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relación exacta entre ellos es:
Binario | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hexadecimal: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Así que cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los números binarios), es mucho más fácil usar un solo dígito hexadecimal en lugar de 4 dígitos binarios.
Por ejemplo, el número binario "100110110100" es "9B4" en hexadecimal. ¡Yo sé cuál prefiero escribir!