Derivadas en la forma dy/dx

pendiente delta y / delta x

 

Las derivadas tienen que ver con el cambio ...

... muestran qué tan rápido está cambiando algo (a esto se le llama tasa de cambio) en cualquier momento.

 

En Introducción a las Derivadas (¡por favor, lee eso primero!) vimos cómo hacer una derivada usando diferencias y límites.

Aquí buscamos hacer lo mismo pero usando la notación "dy/dx" (también llamada notación de Leibniz) en lugar de límites.

 

pendiente delta x, y delta y

Empezamos dándole nombre a la función "y":

y = f(x)

1. Sumamos Δx

Cuando x aumenta en Δx, entonces y aumenta en Δy:

y + Δy = f(x + Δx)

2. Restamos ambas fórmulas

De:   y + Δy = f(x + Δx)
Restamos:   y = f(x)
Para obtener:     y + Δy − y = f(x + Δx) − f(x)
     
Simplificamos:   Δy = f(x + Δx) − f(x)

3. Rapidez de cambio

Para calcular qué tan rápido crece (i.e., la tasa de cambio) dividimos entre Δx:

ΔyΔx = f(x + Δx) − f(x)Δx

4. Reducimos Δx hacia 0

No podemos dejar que Δx se convierta en 0 (porque eso sería dividir entre 0), pero podemos hacer que se dirija hacia cero y llamarlo "dx":

Δx flecha a la derecha dx

También puedes pensar en "dx" como infinitesimal o infinitamente pequeño.

Asimismo, Δy se vuelve muy pequeño y lo llamamos "dy", para tener finalmente:

dy dx = f(x + dx) − f(x) dx

Probemos con una función

Veamos qué tal con f(x) = x2

dydx =
f(x + dx) − f(x) dx
Usamos f(x) = x2:
(x + dx)2 − x2 dx
Desarrollamos (x+dx)2:
x2 + 2x(dx) + (dx)2 − x2 dx
x2−x2 = 0:
2x(dx) + (dx)2 dx
Simplificamos la fracción:
2x + dx
dx tiende a 0:
2x

Así que la derivada de x2 es 2x

 

¿Qué tal si pruebas con f(x) = x3 ?

dydx =
f(x + dx) − f(x)dx
Usa f(x) = x3:
(x + dx)3 − x3dx
Desarrolla (x+dx)3:
x3 + ... (¡tu turno!) dx

¿Qué derivada obtienes?

 

 

Índice de Cálculo Introducción a los Límites