Método de Coeficientes Indeterminados

Esta página trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden de este tipo:

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

donde P(x), Q(x) y f(x) son funciones de x.

El caso más simple, cuando f(x) = 0:

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = 0

es "homogéneo" y se explica en Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Primero aprende ese método, ya que te ayudará a comprender esta página.

Dos métodos

Hay dos métodos principales para resolver ecuaciones como esta

d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)

Variación de Parámetros que es un método un poco más complicado pero funciona en una gama más amplia de funciones.

Coeficientes Indeterminados (el cual aprenderemos aquí) que solo funciona cuando f(x) es un polinomio, una exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de esas.

Coeficientes Indeterminados

Para simplificar las cosas, solo miraremos el caso:

d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

cuando p y q son constantes.

La solución completa a tal ecuación se puede encontrar combinando dos tipos de solución:

  1. La solución general de la ecuación homogénea
  2. d2ydx2 + pdydx + qy = 0

  3. Soluciones particulares de la ecuación no-homogénea
  4. d2ydx2 + pdydx + qy = f(x)

Toma en cuenta que f(x) podría ser una sola función o una suma de dos o más funciones.

Una vez que hayamos encontrado la solución general y todas las soluciones particulares, la solución completa se encuentra sumando todas las soluciones.

Ejemplo 1:

La ecuación homogénea d2ydx2 − y = 0 tiene como solución general y = Aex + Be−x

La ecuación no-homogénea d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 tiene como solución particular

y = −2x2 + x − 1

Entonces la solución completa de la ecuación diferencial d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3 es

y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1

Verifiquemos que la respuesta sea correcta:

y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1

Primera y segunda derivada:

dydx = Aex − Be−x − 4x + 1

d2ydx2 = Aex + Be−x − 4

Entonces

d2ydx2 − y

= Aex + Be−x − 4 − (Aex + Be−x − 2x2 + x − 1)

= Aex + Be−x − 4 − Aex − Be−x + 2x2 − x + 1

= 2x2 − x − 3   Correcto ✓

Entonces, en este caso hemos demostrado que la respuesta es correcta, pero ¿cómo encontramos las soluciones particulares?

¡Podemos intentar suponer o adivinar ...!

Este método solo es fácil de aplicar si f(x) es una de los siguientes:

Ya sea:f(x) es una función polinomial.
O bien:f(x) es una combinación lineal de funciones seno y coseno.
O:f(x) es una función exponencial.

Y aquí hay una guía para ayudarnos a hacer una buena suposición:

f(x) y(x) suposición/adivinando
aebx Aebx
a cos(cx) + b sin(cx) A cos(cx) + B sin(cx)
kxn (n=0,1,2,...) Anxn + An-1xn-1 + … + A0

Pero hay una regla importante que debe aplicarse:

Primero debes encontrar la solución general a la ecuación homogénea.

Verás por qué mientras continuamos.

Ejemplo 1 (de nuevo): Resolver d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3

1. Encuentra la solución general de

d2ydx2 − y = 0

La ecuación característica es: r2 − 1 = 0

Factoriza: (r − 1)(r + 1) = 0

r = 1 o −1

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

y = Aex + Be−x

2. Encuentra la solución particular de

d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3

Ahora hay que suponer la que podría ser la solución:

Sea y = ax2 + bx + c

dydx = 2ax + b

d2ydx2 = 2a

Sustituye esos valores en d2ydx2 − y = 2x2 − x − 3

2a − (ax2 + bx + c) = 2x2 − x − 3

2a − ax2 − bx − c = 2x2 − x − 3

− ax2 − bx + (2a − c) = 2x2 − x − 3

Iguala los coeficientes:

coeficientes con x2: −a = 2 a = −2   ...   (1)
coeficientes con x: −b = −1 b = 1   ...   (2)
Coeficientes constantes: 2a − c = −3   ...   (3)


Sustituye a = −2 de (1) en (3)

−4 − c = −3

c = −1

a = −2, b = 1 y c = −1, entonces la solución particular de la ecuación diferencial es

y = − 2x2 + x − 1

Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:

y = Aex + Be−x − 2x2 + x − 1

¿Por qué supusimos y = ax2 + bx + c (una función cuadrática) y no incluimos un término cúbico (o superior)?

La respuesta es simple. La función f(x) en el lado derecho de la ecuación diferencial no tiene término cúbico (o superior); entonces, si y tuviera un término cúbico, su coeficiente tendría que ser cero.

Por tanto, para una ecuación diferencial del tipo d2ydx2 + pdydx + qy = f(x) donde f(x) es un polinomio de grado n, nuestra suposición de y también será un polinomio de grado n.


Ejemplo 2: Resolver

6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 5x3 + 39x2 − 36x − 10

1. Encuentra la solución general de  6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 0

La ecuación característica es: 6r2 − 13r − 5 = 0

Factoriza: (2r − 5)(3r + 1) = 0

r = 52 o −13

De modo que la solución general de la ecuación diferencial es

y = Ae(5/2)x + Be(−1/3)x

2. Encuentra la solución particular de  6d2ydx2 − 13dydx − 5y = 5x3 + 39x2 − 36x − 10

Hay que suponer que la solución es cúbica porque 5x3 + 39x2 − 36x − 10 es cúbica.

Sea y = ax3 + bx2 + cx + d

dydx = 3ax2 + 2bx + c

d2ydx2 = 6ax + 2b

Sustituye esos valores en  6d2ydx2 − 13dydx −5y = 5x3 + 39x2 −36x −10

6(6ax + 2b) − 13(3ax2 + 2bx + c) − 5(ax3 + bx2 + cx + d) = 5x3 + 39x2 − 36x − 10

36ax + 12b − 39ax2 − 26bx − 13c − 5ax3 − 5bx2 − 5cx − 5d = 5x3 + 39x2 − 36x − 10

−5ax3 + (−39a − 5b)x2 + (36a − 26b - 5c)x + (12b − 13c − 5d) = 5x3 + 39x2 − 36x − 10

Iguala los coeficientes:

coeficientes con x3: −5a = 5 a = −1
coeficientes con x2: −39a −5b = 39 b = 0
coeficientes con x: 36a −26b −5c = −36 c = 0
coeficientes constantes: 12b − 13c −5d = −10 d = 2

Entonces la solución particular es:

y = −x3 + 2

Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:

y = Ae(5/2)x + Be(−1/3)x − x3 + 2

Y aquí hay algunas curvas de muestra:

Gráfica de la función y con diferentes valores de A y B


Ejemplo 3: Resolver d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x) + 16e3x


En este caso, necesitamos resolver tres ecuaciones diferenciales:

1. Encontrar la solución general de d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0

2. Encontrar la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)

3. Encontrar la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x

 

Entonces, así es como se hace:

1. Encuentra la solución general de d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0

La ecuación característica es: r2 + 3r − 10 = 0

Factoriza: (r − 2)(r + 5) = 0

r = 2 o −5

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:

y = Ae2x+Be−5x

2. Encuentra la solución particular de d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)

Haz una suposición: dado que f(x) es una función coseno, supondremos que y es una combinación lineal de las funciones seno y coseno:

Prueba y = acos⁡(x) + bsin(x)

dydx = − asin(x) + bcos(x)

d2ydx2 = − acos(x) − bsin(x)

Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x)

−acos⁡(x) − bsin(x) + 3[−asin⁡(x) + bcos(x)] − 10[acos⁡(x)+bsin(x)] = −130cos(x)

cos(x)[−a + 3b − 10a] + sin(x)[−b − 3a − 10b] = −130cos(x)

cos(x)[−11a + 3b] + sin(x)[−11b − 3a] = −130cos(x)

Iguala los coeficientes:

Coeficientes de cos(x): −11a + 3b = −130   ...   (1)
Coeficientes de sin(x): −11b − 3a = 0   ...   (2)

De la ecuación (2), a = −11b3

Sustituye en la ecuación (1)

121b3 + 3b = −130

130b3 = −130

b = −3

a = −11(−3)3 = 11

Entonces la solución particular es:

y = 11cos⁡(x) − 3sin(x)

3. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x

Adivina.

Prueba con y = ce3x

dydx = 3ce3x

d2ydx2 = 9ce3x

Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e3x

9ce3x + 9ce3x − 10ce3x = 16e3x

8ce3x = 16e3x

c = 2

Entonces la solución particular es:

y = 2e3x

Finalmente, combinamos nuestras tres respuestas para obtener la solución completa:

y = Ae2x + Be−5x + 11cos⁡(x) − 3sin(x) + 2e3x


Ejemplo 4: Resolver d2ydx2 + 3dydx − 10y = −130cos(x) + 16e2x

Esto es exactamente lo mismo que en el Ejemplo 3 excepto por el término final, que ha sido reemplazado por 16e2x.

Entonces, los pasos 1 y 2 son exactamente iguales. Continúa con el paso 3:

3. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x

Adivina.

Intenta con y = ce2x

dydx = 2ce2x

d2ydx2 = 4ce2x

Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x

4ce2x + 6ce2x − 10ce2x = 16e2x

0 = 16e2x

¡Caracoles! Parece que algo salió mal. ¿Cómo puede ser que 16e2x = 0?

Bueno, no se puede, y no hay nada de malo aquí, excepto que no hay una solución particular para la ecuación diferencial d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x

...¡Espera un momento!
La solución general a la ecuación homogénea d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0, que es y = Ae2x + Be−5x, ya tiene un término Ae2x, así que la función que supusimos y = ce2x ya satisface la ecuación diferencial d2ydx2 + 3dydx − 10y = 0 (era solo una constante diferente).

Entonces debemos probar con y = cxe2x


Veamos qué ocurre:

dydx = ce2x + 2cxe2x

d2ydx2 = 2ce2x + 4cxe2x + 2ce2x = 4ce2x + 4cxe2x

Sustituye esos valores en d2ydx2 + 3dydx − 10y = 16e2x

4ce2x + 4cxe2x  + 3ce2x + 6cxe2x − 10cxe2x = 16e2x

7ce2x = 16e2x

c = 167

Entonces, en el caso actual, nuestra solución particular es

y = 167xe2x

Por lo tanto, nuestra solución final completa en este caso es:

y = Ae2x + Be−5x + 11cos⁡(x) − 3sin(x) + 167xe2x


Ejemplo 5: Resolver d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x

1. Encuentra la solución general para d2ydx2 − 6dydx + 9y = 0

La ecuación característica es: r2 − 6r + 9 = 0

(r − 3)2 = 0

r = 3, que es una raíz repetida.

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es y = Ae3x + Bxe3x

2. Encuentra la solución particular para d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x

Haz una buena suposición.

Prueba con y = ce−2x

dydx = −2ce−2x

d2ydx2 = 4ce−2x

Sustituye esos valores en d2ydx2 − 6dydx + 9y = 5e−2x

4ce−2x + 12ce−2x + 9ce−2x = 5e−2x

25ce−2x = 5e−2x

c = 15

Entonces la solución particular es:

y= 15e−2x

Finalmente, combinamos nuestras dos respuestas para obtener la solución completa:

y= Ae3x + Bxe3x + 15e−2x


Ejemplo 6: Resolver d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109cos(5x)

1. Encuentra la solución general para d2ydx2 + 6dydx + 34y = 0

La ecuación característica es: r2 + 6r + 34 = 0

Usa la fórmula de la ecuación cuadrática

r = −b ± √(b2 − 4ac)2a

con a = 1, b = 6 y c = 34

Luego

r = −6 ± √[62 − 4(1)(34)]2(1)

r = −6 ± √(36−136)2

r = −6 ± √(−100)2

r = −3 ± 5i

Y se tiene:

y =e−3x(Acos⁡(5x) + iBsin(5x))

2. Encuentra la solución particular para d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109sin(5x)

Dado que f(x) es una función seno, asumimos que y es una combinación lineal de las funciones seno y coseno:

Adivina.

Prueba con y = acos⁡(5x) + bsin(5x)

Nota: dado que no tenemos sin(5x) o cos(5x) en la solución de la ecuación homogénea (tenemos e−3xcos(5x) y e−3xsin(5x), que son funciones diferentes), nuestra suposición debería funcionar.

Continuemos y veamos qué sucede:

dydx = −5asin⁡(5x) + 5bcos(5x)

d2ydx2 = −25acos⁡(5x) − 25bsin(5x)

Sustituye esos valores en  d2ydx2 + 6dydx + 34y = 109sin(5x)

−25acos⁡(5x) − 25bsin(5x) + 6[−5asin⁡(5x) + 5bcos(5x)] + 34[acos⁡(5x) + bsin(5x)] = 109sin(5x)

cos(5x)[−25a + 30b + 34a] + sin(5x)[−25b − 30a + 34b] = 109sin(5x)

cos(5x)[9a + 30b] + sin(5x)[9b − 30a] = 109sin(5x)

Iguala los coeficientes de cos(5x) y sin(5x):

Coeficientes de cos(5x): 9a + 30b = 109   ...   (1)
Coeficientes de sin(5x): 9b − 30a = 0   ...   (2)

De la ecuación (2), a = 3b10

Sustituye en la ecuación (1)

9(3b10) + 30b = 109

327b = 1090

b = 103

a = 1

Entonces la solución particular es:

y = cos⁡(5x) + 103sin(5x)

Finalmente, combinamos nuestras respuestas para obtener la solución completa:

y = e−3x(Acos⁡(5x) + iBsin(5x)) + cos⁡(5x) + 103sin(5x) 

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).