Límites (Definición Formal)

Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Ejemplo:

(x² − 1) (x − 1)

Veamos qué ocurre para x=1:

(1²− 1) (1 − 1) = (1 − 1) (1 − 1) = 0 0

¡Calcular 0/0... vaya, difícil! De hecho no sabemos el valor de 0/0 porque es "indeterminado", lo que significa que necesitamos otra manera de calcular lo que buscamos.

Así que en lugar de calcular directamente con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

Ejemplo (continuación):

x		(x² − 1) (x − 1)
0.5		1.50000
0.9		1.90000
0.99		1.99000
0.999		1.99900
0.9999		1.99990
0.99999		1.99999
...		...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²−1) (x−1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones.

El límite de (x²−1) (x−1) cuando x tiende a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

limx→1 x²−1x−1 = 2

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

Formalidad

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor solo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal.

Así que vamos a empezar por la idea general

Del español a las matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

idea del límite: f (x) va a L cuando x va a a

Calculando "cerca"

Ahora hay que determinar cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restando un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 − 4 = 0.01 (todo bien)
Ejemplo 2: 3.8 − 4 = −0.2 (¿cerca negativamente?)

Entonces, ¿cómo lidiamos con lo negativo? No nos importa si es positivo o negativo, solo queremos saber hasta dónde, es decir, usamos el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a−b|

Ejemplo 1: |4.01−4| = 0.01
Ejemplo 2: |3.8−4| = 0.2

Y si |a−b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)−L| es pequeño cuando |x−a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x²−1) (x−1)

f(x) se acerca a L=2 cuando x se acerca a a=1,
así que |f(x)−2| es pequeño cuando |x−1| es pequeño.

Delta y Epsilon

Pero la palabra "pequeño" es español, no "matemáticas".

Tenemos que elegir dos valores que podamos comparar y que puedan ser "más pequeños que", así:

ε		tal que \|f(x)−L\| sea más pequeño que él
δ		tal que \|x−a\| sea más pequeño que él

(Nota: Esas son dos letras griegas, ε es "épsilon" y δ es "delta", a menudo se
utilizan para esto, lo que lleva a la frase "epsilon-delta")

Y tenemos:

"|f(x)−L|<ε cuando |x−a|<δ"

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

se cumple para cualquier ε>0
δ existe y es >0
x es diferente de a, es decir, 0<|x−a|

Y así queda:

Para todo ε>0, hay un δ>0 tal que |f(x)−L|<ε cuando 0<|x−a|<δ

Esta es la definición formal. En realidad, parece algo aterradora, ¿no?

Pero la esencia sigue siendo algo sencillo:

cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De:		A:
0<\|x−a\|<δ		\|f(x)−L\|<ε

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para δ (en términos de ε) que funcione.

¿Cómo la encontramos?

¡Adivina y comprueba!

Sí, es correcto. Puedes:

Jugar y manipular hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
Ponerla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: Intentemos demostrar que

limx→3 2x+4 = 10

Usando las letras de las que hablamos antes:

El valor al que se acerca x, "a", es 3
El Límite "L" es 10

Entonces queremos saber cómo pasar de:

0<|x−3|<δ
a
|(2x+4)−10|<ε

Paso 1: Juega un poco hasta encontrar una fórmula que podría funcionar

Comenzamos con: |(2x+4)−10| < ε Simplificamos: |2x−6| < ε Sacamos el 2 fuera de los ||: 2|x−3| < ε Dividimos ambos lados entre 2: |x−3| < ε/2

Así que podemos suponer que δ=ε/2 podría funcionar

Paso 2: Probar si esa fórmula funciona

Entonces, ¿podemos pasar de 0<|x−3|<δ a |(2x+4)−10|<ε ... ?

Veamos...

Comenzamos con: 0 < |x−3| < δ Reemplazamos δ por ε/2: 0 < |x−3| < ε/2 Multiplicamos todo por 2: 0 < 2|x−3| < ε Llevamos el 2 dentro de los ||: 0 < |2x−6| < ε Reemplazamos “−6” con “+4−10”: 0 < |(2x+4)−10| < ε

¡Sí! Podemos pasar de 0<|x−3|<δ a |(2x+4)−10|<ε eligiendo δ=ε/2

¡LISTO!

Hemos visto entonces que, dado un ε, podemos encontrar un δ, por lo tanto es cierto que:

Para cualquier ε, existe un δ tal que |f(x)−L|<ε cuando 0<|x−a|<δ

Y hemos demostrado que

limx→3 2x+4 = 10

Conclusión

Fue una demostración bastante sencilla, pero esperamos que haya aclarado el extraño lenguaje de “existe un ...” y que muestre una buena manera de abordar este tipo de pruebas.