Puntos de Inflexión
Un punto de inflexión es donde una curva cambia de Cóncava Hacia Arriba a Cóncava Hacia Abajo (o viceversa)
Entonces, ¿qué es cóncava hacia arriba/abajo?
| Cóncava hacia arriba es cuando la pendiente crece: |  |
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| Cóncava hacia abajo es cuando la pendiente decrece: |  |
Aquí hay más ejemplos:
Lee más en Cóncava Hacia Arriba y Cóncava Hacia Abajo.
Dónde exactamente ...
Entonces, nuestra tarea es encontrar dónde cambia una curva de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo (o viceversa).
Cálculo
¡Las derivadas nos ayudan!
La derivada de una función da la pendiente.
La segunda derivada nos dice si la
pendiente aumenta o disminuye.
- Cuando la segunda derivada es positiva, la función es cóncava hacia arriba.
- Cuando la segunda derivada es negativa, la función es cóncava hacia abajo.
Y el punto de inflexión es donde pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa).
Ejemplo: y = 5x3 + 2x2 − 3x
Trabajemos con la segunda derivada.
- La derivada es y' = 15x2 + 4x − 3
- La segunda derivada es y'' = 30x + 4
Y 30x + 4 es negativa hasta x = −4/30 = −2/15, positiva de ahí en adelante, entonces:
Y el punto de inflexión está en x = −2/15
Un recordatorio rápido sobre derivadas
En el ejemplo anterior tomamos esto:
y = 5x3 + 2x2 − 3x
y usamos que esta era la derivada:
y' = 15x2 + 4x − 3
Hay reglas que se pueden seguir para encontrar derivadas, y en este caso usamos la "Regla de las Potencias":
- x3 tiene pendiente igual a 3x2, por lo que 5x3 tiene como pendiente 5(3x2) = 15x2
- x2 tiene pendiente igual a 2x, por lo que 2x2 tiene como pendiente 2(2x) = 4x
- La pendiente de la línea 3x es 3
Otro ejemplo para ti
Ejemplo: y = x3 − 6x2 + 12x − 5
La derivada es: y' = 3x2 − 12x + 12
La segunda derivada es: y'' = 6x − 12
Y 6x − 12 es negativa hasta x = 2, positiva de ahí en adelante. Entonces:
Y el punto de inflexión está en x = 2:
