Composición de funciones
La "composición de funciones" es aplicar una función a los resultados de otra:
El resultado de f() se manda a g()
Se escribe: (g º f)(x)
Lo cual significa: g(f(x))
Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2
"x" es solo un marcador de posición. Para evitar confusiones llamémoslo simplemente "entrada":
f(entrada) = 2(entrada)+3
g(entrada) = (entrada)2
Comencemos:
(g º f)(x) = g(f(x))
Primero aplicamos f, luego aplicamos g a ese resultado:
(g º f)(x) = (2x+3)2
¿Y si invertimos el orden de f y g?
(f º g)(x) = f(g(x))
Primero aplicamos g, luego aplicamos f a ese resultado:
(f º g)(x) = 2x2+3
¡Obtenemos un resultado diferente!
Cuando invertimos el orden, el resultado rara vez es el mismo.
Así que ten cuidado identificando bien cuál función viene primero.
Símbolo
El símbolo de la composición es un pequeño círculo:
(g º f)(x)
No es un punto relleno como aquí (g · f)(x), ya que eso significa multiplicar.
Compuesta consigo misma
¡Incluso podemos componer una función consigo misma!
Ejemplo: f(x) = 2x+3
(f º f)(x) = f(f(x))
Primero aplicamos f, luego aplicamos f a ese resultado:
(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9
Deberíamos poder hacerlo sin el diagrama:
Dominios
Hasta ahora ha sido fácil, pero ahora debemos considerar los dominios de las funciones.
La función debe ser válida para todos los valores que le damos, por lo que depende de nosotros asegurarnos de obtener el dominio correcto.
Ejemplo: el dominio de √x (la raíz cuadrada de x)
No podemos tener la raíz cuadrada de un número negativo (a menos que usemos números imaginarios, pero no los usaremos en esta ocasión), por lo que debemos excluir los números negativos:
El dominio de √x son todos números reales no negativos
En la recta numérica se ve así:
Usando notación de conjuntos se escribe así:
{ x
| x ≥ 0}
O usando notación de intervalos queda así:
[0,+∞)
¡Es importante obtener el dominio correcto u obtendremos malos resultados!
Dominio de la función compuesta
Debemos obtener ambos dominios correctamente (la función compuesta y la primera función utilizada).Al calcular, por ejemplo, (g º f)(x) = g(f(x)):
- Asegúrate de obtener el dominio para f(x) correctamente,
- Luego también asegúrate de que g(x) tenga el dominio correcto
Ejemplo: f(x) = √x y g(x) = x2
El dominio de f(x) = √x son todos números reales no negativos
El dominio de g(x) = x2 son todos los números reales
La función compuesta es:
Ahora, "x" normalmente tiene el dominio de todos los números reales ...
... pero debido a que es una función compuesta también debemos considerar f(x),
Entonces el dominio es todos números reales no negativos
¿Por qué ambos dominios?
Bueno, imagina que las funciones son máquinas ... la primera funde un agujero con una llama (solo para metal), la segunda perfora un poco más el agujero (funciona en madera o metal):
 |
Lo que vemos al final es un agujero perforado, y podemos pensar "eso debería funcionar para madera o metal". ¡Pero si ponemos madera en g º f entonces la primera función f hará un incendio y quemará todo! |
Entonces, lo que sucede "dentro de la máquina" es importante.
Descomponer una función
Podemos ir en la otra dirección y dividir una función en una composición de otras funciones.
Ejemplo: (x+1/x)2
Esa función se puede realizar a partir de estas dos funciones:
f(x) = x + 1/x
g(x) = x2
Y obtenemos:
Esto puede resultar útil si la función original es demasiado complicada para trabajar.
Resumen
- La "composición de funciones" es aplicar una función a los resultados de otra.
- (g º f)(x) = g(f(x)), primero aplicamos f(), luego aplicamos g()
- También debemos respetar el dominio de la primera función
- Algunas funciones se pueden descomponer en dos (o más) funciones más simples.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
