Parábola

parábola

Si das una patada a una pelota de fútbol (o disparas una flecha o un misil, o tiras una piedra) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta...

... ¡siguiendo una parábola!

(Excepto por el efecto del aire).

Prueba a patear el balón:

 

parábola distancias iguales

Definición

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de:

En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!).

Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea.

Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.

 

parábola directriz, vértice, foco y eje de simetría

Nombres

Estos son los nombres más importantes:

 

parábola: los rayos van al foco

Reflector

Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:

Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco.

Y por eso el punto central se llama foco...

¡porque ahí es donde se enfocan todos los rayos!

antena parabólica

Así, las parábolas se pueden usar para:

 

parábola: sección cónica

También sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono).

Por tanto, la parábola es una sección cónica (una sección de un cono).

Ecuaciones

x al cuadrado es una parábola

 

La ecuación más simple para una parábola es y = x2

y al cuadrado es una parábola

 

Si la giramos de lado nos queda y2 = x

(o y = √x para la parte superior)

 

parábola y sus coordenadas

De forma más general:

y2 = 4ax

donde a es la distancia desde el origen al foco (y también desde el origen a la directriz)

Ejemplo: ¿dónde está el foco de la ecuación y2=5x ?

Si ponemos y2 = 5x en la forma y2 = 4ax, tenemos que y2 = 4 (5/4) x,

así que a = 5/4, y el foco de y2=5x es:

F = (a,0) = (5/4,0)

Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:

parábola: orientanción derecha
y2 = 4ax

parábola: orientanción izquierda
y2 = −4ax

parábola: orientanción arriba
x2 = 4ay

parábola: orientanción abajo
x2 = −4ay

Medidas para una antena parabólica

Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿qué medidas necesitas?

Para que sea fácil de hacer, digamos que apunte hacia arriba, y así tenemos la ecuación x2 = 4ay.

Y queremos que "a" sea 200, así que la ecuación queda:

x2 = 4ay = 4 × 200 × y = 800y

Lo reescribimos para poder calcular las alturas:

y = x2/800

Aquí tienes algunas medidas de alturas que van saliendo:

parábola: orientanciones Distancia horizontal ("x") Altura ("y")
0 mm 0.0 mm
100 mm 12.5 mm
200 mm 50.0 mm
300 mm 112.5 mm
400 mm 200.0 mm
500 mm 312.5 mm
600 mm 450.0 mm
   

Intenta construir una tú mismo, ¡podría ser divertido! Solo ten cuidado, una superficie reflectante puede concentrar mucho calor en el foco.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).