Inversa de una Matriz usando Menores, Cofactores y la Adjunta

(Nota: también echa un vistazo a Matriz Inversa mediante operaciones de fila y la Calculadora de Matrices.)

 

Podemos calcular la Inversa de una Matriz así:

¡Pero se explica mejor trabajando a través de un ejemplo!

Ejemplo: encuentra la inversa de A:

matriz A

Necesita 4 pasos. Todo es simple aritmética, pero hay muchas operaciones, así que trata de no cometer un error.

Paso 1: Menores de la matriz

El primer paso es crear los "Menores de la Matriz". (Nota: también se conoce como "Matriz de Menores"). Este paso tiene la mayoría de los cálculos.

Para cada elemento de la matriz:

Pon esos determinantes en una matriz (los "Menores de la Matriz")

Determinante

Para una matriz de 2×2 (2 filas y 2 columnas) el determinante es fácil: ad-bc

Piensa en una cruz diagonal:

  • lo azul significa positivo (+ad),
  • lo rojo significa negativo (−bc)
  una matriz

(Se vuelve más difícil para una matriz de 3×3, etc.)

Los cálculos

Aquí están los dos primeros y últimos dos cálculos de la "Matriz de Menores" (observa cómo ignoro los valores en la fila y las columnas actuales, y calculo el determinante usando los valores restantes):

menores de la matriz (pasos)

Y aquí está el cálculo para toda la matriz:

menores de la matriz resultado

Paso 2: matriz de cofactores

tablero de signos positivos y negativos

¡Esto es fácil! Simplemente aplica un "tablero" de signos a los "Menores de la Matriz". En otras palabras, necesitamos cambiar el signo de las celdas alternantes, así:

matriz de cofactores

Paso 3: Adjunta

Ahora "Transpón" todos los elementos de la matriz anterior ... en otras palabras, intercambia sus posiciones sobre la diagonal (la diagonal permanece igual):

matriz adjunta

Paso 4: Multiplica por 1/determinante

Ahora calcula el determinante de la matriz original. Esto no es demasiado difícil, porque ya calculamos los determinantes de las partes más pequeñas cuando hicimos los "Menores de la Matriz".

operaciones con matrices

En la práctica, podemos multiplicar cada uno de los elementos de la fila superior por el cofactor para la misma ubicación:

Elementos de la fila superior: 3, 0, 2
Cofactores de la fila superior: 2, −2, 2

Determinante = 3×2 + 0×(−2) + 2×2 = 10

(Solo por diversión: intenta esto para cualquier otra fila o columna, también deberías obtener 10.)

Y ahora multiplica la adjunta por 1/determinante:

matriz adjunta 1/det nos da la inversa

¡Y listo!

Compara esta respuesta con la que obtuvimos en Matriz Inversa mediante operaciones de fila. ¿Es lo mismo? ¿Qué método prefieres?

Matrices más grandes

Son exactamente los mismos pasos para matrices más grandes (como una 4×4, 5×5, etc.), pero ¡wow! Hay muchos cálculos involucrados.

Para una Matriz 4×4 tenemos que calcular 16 determinantes 3×3. Por lo tanto, a menudo es más fácil usar computadoras o calculadoras (como la Calculadora de Matrices.)

Conclusión

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).