Matriz Inversa usando Operaciones Elementales entre Filas

También se llama método Gauss-Jordan.

Esta es una forma divertida de encontrar la inversa de una matriz:

Juega con las filas (sumando, multiplicando o intercambiando) hasta que convertir la Matriz A en la Matriz de Identidad I

matriz A | I se convierte en I | A inversa
¡Y si TAMBIÉN haces los cambios en una Matriz de Identidad, ésta mágicamente se convierte en la Inversa!

Las "Operaciones Elementales de Fila" son cosas simples como sumar filas, multiplicar e intercambiar ... pero veamos con un ejemplo:

Ejemplo: encuentra la inversa de "A":

matriz A

Empezamos con la matriz A, y la escribimos con una Matriz Identidad I justo al lado:

matriz A aumentada
(Esto se llama la "matriz aumentada")

Matriz identidad

La "Matriz de identidad" es el equivalente matricial del número "1":

Matriz Identidad
Una matriz identidad de 3x3

 

Ahora hacemos todo lo posible para convertir "A" (la matriz de la izquierda) en una matriz identidad. El objetivo es hacer que la Matriz A tenga 1s en diagonal y 0s en cualquier otra parte (una Matriz Identidad) ... y el lado derecho nos acompaña para el viaje, realizando también de este lado todas las operaciones.

Pero solo podemos hacer estas "Operaciones Elementales de Fila":

Y debemos hacerlo a toda la fila, así:

pasos a seguir en las filas de la matriz

 

Empieza con A y al lado I

 

Suma la fila 2 y la fila 1,

 

luego divide la fila 1 por 5,

 

Luego toma 2 veces la primera fila y reste de la segunda fila,

 

Multiplica la segunda fila por -1/2,

 

Ahora intercambia la segunda y tercera fila,

 

Por último, resta la tercera fila de la segunda fila,

¡Y hemos terminado!

 

La matriz A se ha convertido en una Matriz Identidad ...

... y al mismo tiempo una Matriz Identidad se convirtió en A-1

matriz A inversa

¡HECHO! Como magia, y tan divertido como resolver cualquier rompecabezas.

Y ten en cuenta: no hay una "forma correcta" de hacer esto, ¡solo sigue jugando hasta que tengas éxito!

(Compara esta respuesta con la que se obtuvo en Inversa de una Matriz usando Menores, Cofactores y la Adjunta. ¿Es la misma? ¿Qué método prefieres?)

Matrices más grandes

Podemos hacer esto con matrices más grandes, por ejemplo, prueba esta matriz 4x4:

matriz B

Inicia así:

matriz B aumentada

Mira si puedes hacerlo tú mismo (podrías comenzar dividiendo la primera fila por 4, pero hazlo a tu manera).

Puedes verificar tu respuesta usando la Calculadora de Matrices (usa el botón "inv(A)").

Por qué funciona

8|1 se convierte en 1|(1/8)

Me gusta pensar de esta manera:

Y "1/8" es el inverso (multiplicativo) de 8

 

O, más técnicamente:

matriz A | I se convierte en I | A inversa

El efecto total de todas las operaciones de fila es el mismo que multiplicar por A-1

Por lo que A se convierte en I (porque A-1A = I)
E I se convierte en A-1 (porque A-1I = A-1)

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).