Polinomios: Suma y Producto de Raíces

Raíces de un polinomio

Una "raíz" (o "cero") es donde la función es igual a cero:

Gráfica de una desigualdad

En pocas palabras: una raíz es el valor de x donde el valor de y es igual a cero.

Polinomio general

Si tenemos un polinomio general como éste:

f(x) = axn + bxn-1 + cxn-2 + ... + z

Entonces:

Lo que a veces puede ayudarnos a resolver cosas.

¿Cómo funciona esta magia? Vamos a averiguar ...

Factores

Podemos tomar un polinomio, como:

f(x) = axn + bxn-1 + cxn-2 + ... + z

Y luego factorizarlo así:

f(x) = a(x−p)(x−q)(x−r)...

Entonces p, q, r, etc. son las raíces (donde el polinomio es igual a cero)

Cuadrática

Probemos esto con una cuadrática (donde el mayor exponente de la variable es 2):

ax2 + bx + c

Cuando las raíces son p y q, la misma cuadrática se convierte en:

a(x−p)(x−q)

¿Existe una relación entre a, b, c y p, q?

Desarrollemos a(x−p)(x−q):

a(x−p)(x−q)
= a( x2 − px − qx + pq )
= ax2 − a(p+q)x + apq

Ahora comparemos:
Cuadrática: ax2 +bx +c
Factores desarrollados: ax2 −a(p+q)x +apq

Ahora podemos ver que −a(p+q)x = bx, por lo que:

−a(p+q) = b
p+q = −b/a

Y apq = c, entonces:

pq = c/a

Y obtenemos este resultado:

Esto puede ayudarnos a responder preguntas.

Ejemplo: ¿Cuál es una ecuación cuyas raíces son5 + √2 y 5 − √2

La suma de las raíces es (5 + √2) + (5 − √2) = 10
El producto de las raíces es (5 + √2) (5 − √2) = 25 − 2 = 23

Y queremos una ecuación como:

ax2 + bx + c = 0

 

Cuando a=1 podemos resolver eso:

Lo que nos da este resultado

x2 − (suma de las raíces)x + (producto de las raíces) = 0

La suma de las raíces es 10, y el producto de las raíces es 23, por lo que obtenemos:

x2 − 10x + 23 = 0

Y aquí está la gráfica:

raíces de un polinomio

(Pregunta: ¿qué pasa si elegimos a=−1?)

Cúbica

Ahora veamos una cúbica (un grado más alto que la cuadrática):

ax3 + bx2 + cx + d

Al igual que con la cuadrática, desarrollemos los factores:

a(x−p)(x−q)(x−r)
= ax3 − a(p+q+r)x2 + a(pq+pr+qr)x − a(pqr)

Y tenemos

Cúbica: ax3 +bx2 +cx +d
Factores desarrollados: ax3 −a(p+q+r)x2 +a(pq+pr+qr)x −apqr

Ahora podemos ver que −a(p+q+r)x2 = bx2, por lo tanto:

−a(p+q+r) = b
p+q+r = −b/a

Y −apqr = d, entonces:

pqr = −d/a

Esto es interesante ... obtenemos el mismo tipo de cosas:

(También obtenemos pq+pr+qr = c/a, que puede ser útil.)

Polinomios de grados superiores

El mismo patrón continúa con polinomios superiores.

En general:

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).