Polinomios: Suma y Producto de Raíces
Raíces de un polinomio
Una "raíz" (o "cero") es donde la función es igual a cero:
En pocas palabras: una raíz es el valor de x donde el valor de y es igual a cero.
Polinomio general
Si tenemos un polinomio general como éste:
f(x) = axn + bxn-1 + cxn-2 + ... + z
Entonces:
- Sumar las raíces da −b/a
- Multiplicar las raíces da:
- z/a (para polinomios de grado par, como los cuadráticos)
- −z/a (para polinomios de grados impares como cúbicos)
¿Cómo funciona esta magia? Vamos a averiguar ...
Factores
Podemos tomar un polinomio, como:
f(x) = axn + bxn-1 + cxn-2 + ... + z
Y luego factorizarlo así:
f(x) = a(x−p)(x−q)(x−r)...
Entonces p, q, r, etc. son las raíces (donde el polinomio es igual a cero)
Cuadrática
Probemos esto con una cuadrática (donde el mayor exponente de la variable es 2):
ax2 + bx + c
Cuando las raíces son p y q, la misma cuadrática se convierte en:
a(x−p)(x−q)
¿Existe una relación entre a, b, c y p, q?
Desarrollemos a(x−p)(x−q):
a(x−p)(x−q)
= a( x2 − px − qx + pq )
= ax2 − a(p+q)x + apq
Cuadrática: | ax2 | +bx | +c |
Factores desarrollados: | ax2 | −a(p+q)x | +apq |
Ahora podemos ver que −a(p+q)x = bx, por lo que:
Y apq = c, entonces:
Y obtenemos este resultado:
- Sumar las raíces da −b/a
- Multiplicar las raíces da c/a
Esto puede ayudarnos a responder preguntas.
Ejemplo: ¿Cuál es una ecuación cuyas raíces son5 + √2 y 5 − √2
La suma de las raíces es (5 + √2) + (5 − √2) = 10
El producto de las raíces es (5 + √2) (5 − √2) = 25 − 2 = 23
Y queremos una ecuación como:
ax2 + bx + c = 0
Cuando a=1 podemos resolver eso:
- suma de las raíces = −b/a = -b
- producto de las raíces = c/a = c
Lo que nos da este resultado
x2 − (suma de las raíces)x + (producto de las raíces) = 0
La suma de las raíces es 10, y el producto de las raíces es 23, por lo que obtenemos:
x2 − 10x + 23 = 0
Y aquí está la gráfica:
(Pregunta: ¿qué pasa si elegimos a=−1?)
Cúbica
Ahora veamos una cúbica (un grado más alto que la cuadrática):
ax3 + bx2 + cx + d
Al igual que con la cuadrática, desarrollemos los factores:
a(x−p)(x−q)(x−r)
= ax3 − a(p+q+r)x2 + a(pq+pr+qr)x − a(pqr)
Y tenemos
Cúbica: | ax3 | +bx2 | +cx | +d |
Factores desarrollados: | ax3 | −a(p+q+r)x2 | +a(pq+pr+qr)x | −apqr |
Ahora podemos ver que −a(p+q+r)x2 = bx2, por lo tanto:
Y −apqr = d, entonces:
Esto es interesante ... obtenemos el mismo tipo de cosas:
- Sumar las raíces da −b/a (exactamente igual que la cuadrática)
- Multiplicar las raíces da −d/a (similar a +c/a de la cuadrática)
(También obtenemos pq+pr+qr = c/a, que puede ser útil.)
Polinomios de grados superiores
El mismo patrón continúa con polinomios superiores.En general:
- Sumar las raíces da −b/a
- Multiplicar las raíces da (donde "z" es la constante al final):
- z/a (para polinomios de grado par, como los cuadráticos)
- −z/a (para polinomios de grado impar, como los cúbicos)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).