Ecuación cuadrática
| Esto es una ecuación cuadrática: |
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| (a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.) |
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Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
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Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
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En esta a=2, b=5 y c=3 |
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Aquí hay una un poco más complicada:
- ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"
- b=-3
- ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
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¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática) |
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
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El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones! |
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La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
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si es positivo, hay DOS soluciones
- si es cero sólo hay UNA solución,
- y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .
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Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 and -1
(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
| Disfrazadas |
Qué hacer |
En forma estándar |
a, b y c |
| x2 = 3x -1 |
Mueve todos los términos a la izquierda |
x2 - 3x + 1 = 0 |
a=1, b=-3, c=1 |
| 2(x2 - 2x) = 5 |
Desarrolla paréntesis |
2x2 - 4x - 5 = 0 |
a=2, b=-4, c=-5 |
| x(x-1) = 3 |
Desarrolla paréntesis |
x2 - x - 3 = 0 |
a=1, b=-1, c=-3 |
| 5 + 1/x - 1/x2 = 0 |
Multiplica por x2 |
5x2 + x - 1 = 0 |
a=5, b=1, c=-1 |
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