Completar el cuadrado

"Completar el cuadrado" es cuando...

... tenemos una ecuación cuadrática como: y la ponemos en esta forma:

ax2 + bx + c = 0

a(x+d)2 + e = 0


Para los que tengáis prisa, os puedo decir ya que: , y:

Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.

La pista

Primero tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2

(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx + d2

Así que si podemos poner la ecuación en la forma:
 
x2 + 2dx + d2
 
Entonces podemos escribirla inmediatamente como:
 
(x+d)2
 
Que está bastante cerca de lo que queremos, el trabajo estaría casi hecho

El caso más simple

Vamos a trabajar primero con:
Suma (b/2)2 a los dos lados:

Ahora mira la "pista" de arriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2
Sí, está en la forma x2 + 2dx + d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir

Completamos el cuadrado:
   
¿Ves? No es difícil. Con truco pero no difícil.

El completo

Ahora vamos al caso completo:

Empieza con
Divide la ecuación entre a
Pon c/a en el otro lado
Suma (b/2a)2 a los dos lados

¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(si "b/2a" es "d", claro)

"Completamos el cuadrado"
Ahora lo traemos todo de vuelta...
... a la izquierda
... y con el coeficiente correcto de x2

Fíjate en que tenemos:  
a(x+d)2 + e = 0
Donde:  
, y:

Ejemplo

Vamos a probar con un ejemplo de verdad:

Empieza con 3x2 - 4x - 5 = 0
Divide la ecuación entre a
Pon c/a en el otro lado
Suma (b/2a)2 en los dos lados
... ahora la podemos transformar...
"Completamos el cuadrado"
Podemos simplificar las fracciones
Ahora lo traemos todo de vuelta...
... a la izquierda
... y con el mismo coeficiente de x2

Pero pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de la curva) está en (2/3, -19/3) ... ¡y esos números aparecen en la ecuación!

Otra cosa es que ahora podemos resolver la ecuación a mano:
 
 
 
 
 
 

¿Para qué "completar el cuadrado"?

¿Para qué querrías completar el cuadrado cuando basta usar la fórmula cuadrática para resolver una eciación cuadrática?

Bueno, la respuesta está arriba en parte, donde la forma nueva te da el vértice, y también hace la ecuación fácil de resolver.

Es el primer paso en la derivación de la fórmula cuadrática

A veces la forma "ax2 + bx + c" puede ser parte de un problema más grande y escribirla como "a(x+d)2 + e" hace más fácil llegar a la solución, porque la "x" sólo aparece una vez.

Por ejemplo es difícil integrar 1/(3x2 - 4x - 6) pero 1/(3(x - 4/6)2 - 22/3) es más fácil.

O "x" puede ser una función (como cos(z)) y de nuevo reescribir puede abrirte un camino mejor a la solución.

Es sólo otra herramienta en tu caja de herramientas matemáticas.

(Gracias a Patrick por el formato en LaTeX)

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