Derivación de la fórmula cuadrática

Ésta es la forma de una ecuación cuadrática:

Ecuación cuadrática

Y se puede resolver con la fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática

Esta fórmula parece mágica, pero ahora puedes seguir los pasos para ver de dónde viene.

1. Completar el cuadrado

Es difícil manejar una ecuación ax2 + bx + c donde "x" aparece dos veces, pero hay una manera de arreglarla para que "x" aparezca una sola vez. Se llama Completar el Cuadrado (¡Por favor léelo primero!).

Nuestro objetivo es aprovechar lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2

(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx + d2

Vamos:

Empezamos con ax^2 + bx + c=0
Dividimos la ecuación entre a x^2 + bx/a + c/a = 0
Pasamos c/a al otro lado x^2 + bx/a = -c/a
Sumamos (b/2a)2 de ambos lados x^2 + bx/a + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2

¡Ajá, tenemos el formato x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(en este caso "b/2a" es el valor de "d")

"Completar el cuadrado" (x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2

Ahora la "x" aparece una sola vez por lo que ya llevamos cierto progreso.

2. Ahora encontramos "x"

Vamos a reordenar la ecuación para dejar "x" a la izquierda

Empezamos por (x+b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2
Raíz cuadrada (x+b/2a) = (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)
Movemos b/2a a la derecha x = -b/2a (+-) sqrt(-c/a+(b/2a)^2)

¡Ya está resuelto! Pero vamos a simplificar un poco:

Multiplicamos a la derecha por 2a/2a x = [ -b (+-) sqrt(-(2a)^2 c/a  + (2a)^2(b/2a)^2) ] / 2a
Simplificamos: x = [ -b (+-) sqrt(-4ac + b^2) ] / 2a

Y ésta es la fórmula cuadrática que conocemos y que tanto nos gusta:

Fórmula Cuadrática: x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a