Productos Binomiales Especiales
Observa lo que sucede cuando multiplicamos algunos binomios ...
Binomio
Un binomio es un polinomio con dos términos
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| example of a binomial |
Producto
El producto significa el resultado que obtenemos después de multiplicar.
En Álgebra xy significa x multiplicado por y
Y (a+b)(a−b) significa (a+b) multiplicado por (a−b). ¡Lo usamos mucho aquí!
Productos binomiales especiales
Entonces, cuando multiplicamos binomios, obtenemos ... ¡Productos binomiales!Y veremos tres casos especiales de binomios multiplicadores ... por lo que son productos binomiales especiales.
1. Multiplicar un binomio por sí mismo
¿Qué sucede cuando elevamos al cuadrado un binomio (en otras palabras, lo multiplicamos por sí mismo)?
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = ... ¿?
El resultado:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Esta ilustración muestra porqué funciona:
2. Menos por menos
¿Y qué sucede cuando elevamos al cuadrado un binomio con un signo menos dentro?
(a−b)2 = (a−b)(a−b) = ... ¿?
El resultado:
(a−b)2 = a2 − 2ab + b2
Si quieres ver porqué, entonces observa cómo el cuadrado (a−b)2
es igual al gran cuadrado a2 menos los otros rectángulos:
(a−b)2 = a2 − 2b(a−b) − b2
= a2 − 2ab + 2b2 − b2
= a2 − 2ab + b2
3. Más por menos
Y luego hay un caso especial más ... ¿qué pasa con (a+b) por (a−b)?
(a+b)(a−b) = ... ¿?
El resultado:
(a+b)(a−b) = a2 − b2
¡Eso fue interesante! Terminó muy simple.Y se llama la "diferencia de dos cuadrados" (los dos cuadrados son a2 y b2).
Esta ilustración muestra porqué funciona:
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a2 − b2
es igual a (a+b)(a−b)
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Nota: (a−b) podría estar antes y (a+b) después:
(a−b)(a+b) = a2 − b2
Los tres casos
Aquí están los tres resultados que acabamos de obtener:
| (a+b)2 | = a2 + 2ab + b2 | } | los "trinomios cuadrados perfectos" |
| (a−b)2 | = a2 − 2ab + b2 | ||
| (a+b)(a−b) | = a2 − b2 | la "diferencia de cuadrados" |
Recuerda esos patrones, te ahorrarán tiempo y te ayudarán a resolver muchos puzzles de álgebra.
Usándolos
Hasta ahora hemos usado "a" y "b", pero podrían ser cualquier cosa.
Ejemplo: (y+1)2
Podemos usar el caso (a+b)2 donde "a" es y, y "b" es 1:
(y+1)2 = (y)2 + 2(y)(1) + (1)2 = y2 + 2y + 1
Ejemplo: (3x−4)2
Podemos usar el caso (a-b)2 donde "a" es 3x, y "b" es 4:
(3x−4)2 = (3x)2 − 2(3x)(4) + (4)2 = 9x2 − 24x + 16
Ejemplo: (4y+2)(4y−2)
Sabemos que el resultado es la diferencia de dos cuadrados, porque:
(a+b)(a−b) = a2 − b2
por lo tanto:
(4y+2)(4y−2) = (4y)2 − (2)2 = 16y2 − 4
A veces podemos ver el patrón de la respuesta:
Ejemplo: ¿Qué binomios se multiplican para obtener 4x2 − 9 ?
Hmmm ... ¿es ésa la diferencia de dos cuadrados?¡Sí!
4x2 es (2x)2, y 9 es (3)2, así que tenemos:
4x2 − 9 = (2x)2 − (3)2
Y eso puede ser producido por la fórmula de la diferencia de cuadrados:
(a+b)(a−b) = a2 − b2
De esta forma ("a" es 2x, y "b" es 3):
(2x+3)(2x−3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9
Entonces la respuesta es que podemos multiplicar (2x+3) y (2x−3) para obtener 4x2 − 9
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
