Derivadas dy/dx

 

Las derivadas tienen que ver con el cambio ...

... muestran qué tan rápido está cambiando algo (a esto se le llama tasa de cambio) en cualquier momento.

 

En Introducción a las Derivadas (¡por favor, lee eso primero!) vimos cómo hacer una derivada usando diferencias y límites.

Aquí buscamos hacer lo mismo pero usando la notación "dy/dx" (también llamada notación de Leibniz) en lugar de límites.

 

Empezamos dándole nombre a la función "y":

y = f(x)

1. Sumamos Δx

Cuando x aumenta en Δx, entonces y aumenta en Δy:

y + Δy = f(x + Δx)

2. Restamos ambas fórmulas

De:		y + Δy = f(x + Δx)
Restamos:		y = f(x)
Para obtener:		y + Δy − y = f(x + Δx) − f(x)
Simplifica:		Δy = f(x + Δx) − f(x)

3. Rapidez de cambio

Para calcular qué tan rápido crece (i.e., la tasa de cambio) dividimos entre Δx:

ΔyΔx = f(x + Δx) − f(x)Δx

4. Reducimos Δx hacia 0

No podemos dejar que Δx se convierta en 0 (porque eso sería dividir entre 0), pero podemos hacer que se dirija hacia cero y llamarlo "dx":

Δx dx

También puedes pensar en "dx" como infinitesimal o infinitamente pequeño.

Asimismo, Δy se vuelve muy pequeño y lo llamamos "dy", para tener finalmente:

dy dx = f(x + dx) − f(x) dx

Probemos con una función

Veamos qué tal con f(x) = x²

dy dx	= f(x + dx) − f(x) dx
	= (x + dx)2 − x2 dx		f(x) = x2
	= x2 + 2x(dx) + (dx)2 − x2 dx		Desarrollamos (x+dx)2
	= 2x(dx) + (dx)2 dx		x2−x2=0
	= 2x + dx		Simplificamos la fracción
	= 2x		dx se aproxima a 0

Así que la derivada de x² es 2x