Límites (Una Introducción)

Así que en lugar de calcular directamente con x=1 vamos a acercarnos poco a poco: Ahora tenemos una situación interesante:

• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones.

El límite de (x²−1) (x−1)  cuando x tiende a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

limx→1x²−1x−1 = 2

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente...

... pero si solo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando?

¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debería de estar"!

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a"... !

¡En esta función el límite no existe en "a"... !

No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias:

• 3.8 por la izquierda, y
• 1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "−" o "+" (como en la imagen) para definir los límites laterales:

• el límite por la izquierda (−) es 3.8
• el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites solo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Empecemos por un ejemplo interesante.

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.

Así que 1 ∞ es un poco como decir 1 belleza o 1 alto .
A lo mejor podríamos decir que 1 ∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1 ∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x	1 x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Vemos que cuando x crece, 1 x  tiende a 0.
Ahora tenemos una situación interesante:

• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
• Pero vemos que 1 x  va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1 x  cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

limx→∞1x = 0

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1 x se acerca a 0

 

 

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Lee más en Límites al Infinito.

¡Calcular!

Hemos sido un poco vagos hasta ahora, y solo dijimos que un límite es igual a un valor porque parecía que iba a ser así.

¡Eso no es lo suficientemente bueno! Lee más en Evaluando Límites.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).