Límites (evaluación)

Primero deberías leer Límites (una introducción)

Resumen breve de límites

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
Por ejemplo: (x2-1)/(x-1)
   
En x=1: (12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

  • Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
  • Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

 

Evaluar límites

"Evaluar" quiere decir calcular el valor de (piensa en e-"valua"-r)

En el ejemplo de arriba dijimos que el límite era 2 porque es lo que parecía. ¡Pero con eso no basta!

De hecho hay muchas maneras de tener la respuesta correcta. Veamos algunas:

1. Sólo sustituye el valor

Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).

Vamos a probar con ejemplos:

Ejemplo   Valor al sustituir ¿Funciona?
(1-1)/(1-1) = 0/0
       
10/2 = 5

El primero no funcionó (¡ya lo sabíamos!), pero el segundo nos dio una respuesta rápida y fácil.

2. Factores

Podemos probar factorizando.

Ejemplo:
   
Factorizando (x2-1) en (x-1)(x+1) tenemos:
 
 
   
Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:
 

 

3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias el signo entre dos términos, así:

Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:

Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!

Así que vamos a manipular un poco:

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:  
     
Simplifica arriba usando :  
     
Simplifica arriba un poco más:  
     
Elimina (4-x) arriba y abajo:  

Así que nos queda:

¡Hecho!

 

4. Límites infinitos y funciones racionales

Una función racional es un cociente de dos polinomios:  
     
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:  

Cuando queremos saber el límite cuando x va a infinito, calculando los grados de arriba y abajo podemos saber si es 0, infinito, -infinito, o calcularlo fácilmente a partir de los coeficientes.

Lee sobre esto en límites en el infinito.

5. Método formal

El método formal consiste en demostrar que puedes acercarte tanto como quieras a la respuesta haciendo que "x" se acerque a "a".

Lee sobre esto en Límites (definición formal)

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