Grado (de una expresión)
"Grado" puede significar varias cosas en matemáticas:
- En geometría, un grado (°) es una forma de medir ángulos,
- Pero aquí vemos qué grado significa en álgebra.
En álgebra, "grado" a veces se llama "orden"
Grado de un polinomio (con una variable)
Un polinomio tiene esta forma:
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| ejemplo de un polinomio éste tiene 3 términos |
Más ejemplos:
| 4x | El grado es 1 (una variable sin un exponente escrito en realidad tiene un exponente de 1) |
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| 4x3 − x + 3 | El grado es 3 (máximo exponente de x) | |
| x2 + 2x5 − x | El grado es 5 (máximo exponente de x) | |
| z2 − z + 3 | El grado es 2 (máximo exponente de z) |
Nombres de grados
Cuando conocemos el grado, ¡también podemos darle un nombre!| Grado | Nombre | Ejemplo |
|---|---|---|
| 0 | Constante | 7 |
| 1 | Lineal | x+3 |
| 2 | Cuadrático | x2−x+2 |
| 3 | Cúbico | x3−x2+5 |
| 4 | Cuártico | 6x4−x3+x−2 |
| 5 | Quíntico | x5−3x3+x2+8 |
Ejemplo: y = 2x + 7 tiene un grado de 1, por lo que es una ecuación lineal
Ejemplo: 5w2 - 3 tiene un grado de 2, por lo que es cuadrático
Las ecuaciones de orden superior suelen ser más difíciles de resolver:
- Las ecuaciones lineales son fáciles de resolver.
- Las ecuaciones cuadráticas son un poco más difíciles de resolver.
- Las ecuaciones cúbicas son todavía más difíciles, pero hay fórmulas para ayudar.
- Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver, pero las fórmulas son muy complicadas
- ¡Las ecuaciones quínticas no tienen fórmulas, y a veces pueden no tener solución!
Grado de un polinomio (más de una variable)
Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o −):
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| ejemplo de un polinomio con más de una variable |
Para cada término:
- Calcula el grado sumando los exponentes de las variables que
tenga.
Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?
- 5xy2 tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, por lo que 1+2=3)
- 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1)
- 5y3 tiene grado 3 (y tiene exponente 3)
- 3 tiene grado 0 (no hay variables)
El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3
Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?
4z3 + 5y2z2 + 2yz
Veamos cada término:
- 4z3 tiene grado 3 (z tiene exponente 3)
- 5y2z2 tiene grado 4 (y tiene exponente 2, z tiene exponente 2, por lo que 2+2=4)
- 2yz tiene grado 2 (y tiene exponente 1, z tiene exponente 1, por lo que 1+1=2)
El mayor es 4, así que el polinomio tiene grado 4
Escribiéndolo
En lugar de decir "el grado de (lo que sea) es 3" lo escribimos así:
Cuando una expresión es una fracción
Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).
Aquí tienes tres ejemplos:
Calculando otros tipos de expresiones
Aviso: ¡Ideas avanzadas a continuación!
A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...
- el logaritmo de la función entre
- el logaritmo de la variable
... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.
(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).
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Nota: "ln" es la función logaritmo natural. |
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Aquí tienes un ejemplo:
Ejemplo: ¿Cuál es el grado de 
(3 más la
raíz cuadrada de x)?
Vamos a tomar valores de x más y más grandes:
| x | log() |
log(x) | log() /log(x) |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.48483 | 0.69315 | 2.1422 |
| 4 | 1.60944 | 1.38629 | 1.1610 |
| 10 | 1.81845 | 2.30259 | 0.7897 |
| 100 | 2.56495 | 4.60517 | 0.5570 |
| 1,000 | 3.54451 | 6.90776 | 0.5131 |
| 10,000 | 4.63473 | 9.21034 | 0.5032 |
| 100,000 | 5.76590 | 11.51293 | 0.5008 |
| 1,000,000 | 6.91075 | 13.81551 | 0.5002 |
Mirando la tabla:
- cuando x crece log() / log(x) se acerca más y más
a 0.5
Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)
(Nota: esto coincide bien con x½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)
Algunos valores del grado
| Expresión | Grado |
|---|---|
| log(x) | 0 |
| ex | ∞ |
| 1/x | −1 |
 |
1/2 |
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: se requiere un poco de inglés para comprenderlas).
