Grado (de una expresión)

El "grado" se llama a veces "orden"

Grado de un polinomio (una variable)

El grado de un polinomio con una sola variable (como x) es el exponente más grande de la variable.

Ejemplos:

4x El grado es 1 (una variable sin exponente tiene de hecho exponente 1)
   
El grado es 3 (el mayor exponente de x)
   
El grado es 5 (el mayor exponente de x)
   
El grado es 2 (el mayor exponente de z)

Grado de un polinomio (más de una variable)

Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o -):

  • Calcula el grado de cada término haciendo la suma de los exponentes de las variables que tenga,
  • El mayor de esos grados es el grado del polinomio.

Ejemplo: cuál es el grado de este polinomio:

polinomio

  • 5xy2 tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, y 1+2=3)
  • 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1)
  • 5y3 tiene grado 3 (y tiene exponente 3)
  • 3 tiene grado 0 (no hay variables)

El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3

Nombres de los grados

¡Cuando conoces el grado también puedes darle un nombre!

0 constante
1 lineal
2 cuadrático
3 cúbico
4 cuártico
5 quíntico

Ejemplo: 5xy2 - 3 tiene grado 2, así que es cuadrático

Cuando una expresión es una fracción

Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).

Aquí tienes tres ejemplos:

Calculando otros tipos de expresiones

Aviso: ¡Ideas avanzadas en adelante!

A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...

  • el logaritmo de la función entre
  • el logaritmo de la variable

... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.

(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).

Aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de (3 más la raíz cuadrada de x)?

Vamos a tomar valores de x más y más grandes:

x log() log(x) log()
/log(x)
2 1.48483 0.69315 2.1422
4 1.60944 1.38629 1.1610
10 1.81845 2.30259 0.7897
100 2.56495 4.60517 0.5570
1,000 3.54451 6.90776 0.5131
10,000 4.63473 9.21034 0.5032
100,000 5.76590 11.51293 0.5008
1,000,000 6.91075 13.81551 0.5002

Mirando la tabla:

  • cuando x crece log() / log(x) se acerca más y más a 0.5

Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)

(Nota: esto coincide bien con x½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)

Algunos valores del grado

Expresión Grado
log(x) 0
ex
1/x -1
1/2

 

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