Grado (de una expresión)

"Grado" puede significar varias cosas en matemáticas:

En álgebra, "grado" a veces se llama "orden"

Grado de un polinomio (con una variable)

Un polinomio tiene esta forma:

ejemplo de polinomio
ejemplo de un polinomio
éste tiene 3 términos

El grado (para un polinomio de una sola variable, como x) es:

el mayor exponente de esa variable.

polinomio

Más ejemplos:

4x   El grado es 1 (una variable sin un
exponente escrito en realidad tiene un exponente de 1)
     
4x3 − x + 3   El grado es 3 (máximo exponente de x)
     
x2 + 2x5 − x   El grado es 5 (máximo exponente de x)
     
z2 − z + 3   El grado es 2 (máximo exponente de z)

Nombres de grados

Cuando conocemos el grado, ¡también podemos darle un nombre!

Grado Nombre Ejemplo
0 Constante 7
1 Lineal x+3
2 Cuadrático x2−x+2
3 Cúbico x3−x2+5
4 Cuártico 6x4−x3+x−2
5 Quíntico x5−3x3+x2+8

Ejemplo: y = 2x + 7 tiene un grado de 1, por lo que es una ecuación lineal

Ejemplo: 5w2 - 3 tiene un grado de 2, por lo que es cuadrático

Las ecuaciones de orden superior suelen ser más difíciles de resolver:

Grado de un polinomio (más de una variable)

Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o −):

ejemplo de polinomio
ejemplo de un polinomio
con más de una variable

Para cada término:

El mayor de esos grados es el grado del polinomio.

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?

polinomio

  • 5xy2 tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, por lo que 1+2=3)
  • 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1)
  • 5y3 tiene grado 3 (y tiene exponente 3)
  • 3 tiene grado 0 (no hay variables)

El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de este polinomio?

4z3 + 5y2z2 + 2yz

Veamos cada término:

  • 4z3 tiene grado 3 (z tiene exponente 3)
  • 5y2z2 tiene grado 4 (y tiene exponente 2, z tiene exponente 2, por lo que 2+2=4)
  • 2yz tiene grado 2 (y tiene exponente 1, z tiene exponente 1, por lo que 1+1=2)

El mayor es 4, así que el polinomio tiene grado 4

Escribiéndolo

En lugar de decir "el grado de (lo que sea) es 3" lo escribimos así:

deg( 5xy2 − 7x ) = 3

Cuando una expresión es una fracción

Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).

Aquí tienes tres ejemplos:

Calculando otros tipos de expresiones

Aviso: ¡Ideas avanzadas a continuación!

A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...

... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.

(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).

Nota: "ln" es la función logaritmo natural.

  botón ln en la calculadora

Aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de (3 más la raíz cuadrada de x)?

Vamos a tomar valores de x más y más grandes:

x log() log(x) log()
/log(x)
2 1.48483 0.69315 2.1422
4 1.60944 1.38629 1.1610
10 1.81845 2.30259 0.7897
100 2.56495 4.60517 0.5570
1,000 3.54451 6.90776 0.5131
10,000 4.63473 9.21034 0.5032
100,000 5.76590 11.51293 0.5008
1,000,000 6.91075 13.81551 0.5002

Mirando la tabla:

  • cuando x crece log() / log(x) se acerca más y más a 0.5

Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)

(Nota: esto coincide bien con x½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)

Algunos valores del grado

Expresión Grado
log(x) 0
ex
1/x −1
raíz 1/2

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: se requiere un poco de inglés para comprenderlas).