Exponentes fraccionarios

También se llaman "radicales"

Exponentes

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 8² = 8 × 8 = 64

En palabras: 8² se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Exponentes fraccionarios: ½

En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x^½ ?

Respuesta: x^½ = la raíz cuadrada de x (o sea x^½ = √x)

¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x^½ tienes: (x^½)² = x¹ = x

Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:

Primero, hay una regla general: (x^m)ⁿ = x^m×n
(Porque primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces)

Ejemplo: (x²)³ = (xx)³ = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x⁶

Así que (x²)³ = x^2×3 = x⁶

Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x^½:

(x^½)² = x^½×2 = x¹ = x

Cuando hacemos el cuadrado de x^½ sale x, así x^½ tiene que ser la raíz cuadrada de x

Probamos con otra fracción

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

¿Qué es x^¼?

(x^¼)⁴ = x^¼×4 = x¹ = x

Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x^¼ = la raíz cuarta de x

Regla general

De hecho podemos hacer una regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Ejemplo: ¿Cuánto es 27^1/3 ?

Respuesta: 27^1/3 = 27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

una parte con un número entero, y
una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

Ejemplo: ¿Cuánto es 4^3/2 ?

Respuesta: 4^3/2 = 4^3×(1/2) = √(4³) = √(4×4×4) = √(64) = 8

Ahora... ¡Juega con el gráfico!

Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien. Cosas que probar:

Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4
Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc.
Ahora haz que el exponente sea -1
Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas

Exponentes fraccionarios

Exponentes

Exponentes fraccionarios: ½

Pregunta: ¿Qué es x½ ?

¿Por qué?

Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6

(x½)2 = x½×2 = x1 = x