Límites en el infinito
Primero deberías leer límites (una introducción)
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El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. |
Uno entre infinito
Empecemos por un ejemplo interesante.
| Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ? |
| Respuesta: ¡No lo sabemos! |
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!
Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
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Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situación interesante:
- No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
- Pero vemos que 1/x va hacia 0
Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
Resumen
A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
| Lo que pasa en ∞ es indefinido... | 1/∞ |  |
| ... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito | |
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Límites al ir a infinito
¿Cuál es el límite de esta función?
y = 2x
Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":
| x | y=2x |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 8 |
| 10 | 20 |
| 100 | 200 |
| ... | ... |
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:
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Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite). |
Infinito y grado
Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
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Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc. |
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Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro. Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito |
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Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos. |
| De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar. | ||
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Si el grado es:
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| Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite | ||
Funciones racionales
| Una función racional es el cociente de dos polinomios: |  |
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| Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2: |  |
Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...
Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):
Si el grado de P es menor que el grado de Q ...
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... el límite es 0. |
Si el grado de P y de Q son iguales ...
... divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:
Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...
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... entonces el límite es infinito positivo ... |
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... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos! |
Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:
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Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos ...
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Pero esta va hacia infinito negativo, porque -2/5 es negativo. |
Un ejemplo más difícil: Calcular "e"
Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:
(1+ 1/n)n
| En el infinito: | (1+1/∞)∞ = ??? ... ¡no lo sabemos! |
Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:
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Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número mágico e)
Así que tenemos aquí otra situación extraña:
- No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
- Pero vemos que va hacia 2.71828...
Así que escribimos la respuesta con límites:
Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e".
¡No te equivoques al escribirlo... !Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a 2.71828.... ¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real muy grande" (¡no lo es!) sale esto: (1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldrán respuestas equivocadas! Los límites son la manera correcta de hacerlo. |
Evaluar límites
He intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.
Pero "evaluar" (es decir calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más. Te lo explico en evaluación de límites.
