Límites en el infinito

Primero deberías leer límites (una introducción)

 
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Uno entre infinito

Empecemos por un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/ ?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

 

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010
 

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

  • No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
  • Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

 

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

 

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Resumen

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.

Lo que pasa en es indefinido... 1/
     
... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x y=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200
... ...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).

Infinito y grado

Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.

De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:

Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.
   

Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

   
Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.
De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.
     
 

Si el grado es:

  • mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
  • menor que 0, el límite es 0
 
Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite

Funciones racionales

Una función racional es el cociente de dos polinomios:  
     
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:  

Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...

Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):

Si el grado de P es menor que el grado de Q ...

... el límite es 0.

Si el grado de P y de Q son iguales ...

... divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:

Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...

... entonces el límite es infinito positivo ...
   
... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos!

Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:

 

Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos ...

  • x3 (el término de mayor exponente arriba) y
  • 6x2 (el término de mayor exponente abajo)
... son positivos.
     
  Pero esta va hacia infinito negativo, porque -2/5 es negativo.

Un ejemplo más difícil: Calcular "e"

Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:

(1+ 1/n)n


En el infinito: (1+1/) = ??? ... ¡no lo sabemos!  

Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:

n (1 + 1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827
 

Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número mágico e)

Así que tenemos aquí otra situación extraña:

  • No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
  • Pero vemos que va hacia 2.71828...

Así que escribimos la respuesta con límites:

Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de lo que pasa cuando n=, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e".

¡No te equivoques al escribirlo... !

Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a 2.71828....

¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real muy grande" (¡no lo es!) sale esto:

(1+1/) = (1+0) = (1) = 1

Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldrán respuestas equivocadas!

Los límites son la manera correcta de hacerlo.

Evaluar límites

He intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.

Pero "evaluar" (es decir calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más. Te lo explico en evaluación de límites.

 

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