e - El número de Euler

e (número de euler)

El número e es uno de los números más importantes en matemáticas.

Las primeras cifras son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler ( se pronouncia "Oiler").

e es un número irracional (no se puede escribir como una fracción simple).

e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier).

e aparece en muchas áreas interesantes, por lo que vale la pena aprender sobre él.

Calcularlo

Hay muchas formas de calcular el valor de e, pero ninguna de ellas da una respuesta totalmente exacta, porque e es irracional y sus dígitos continúan para siempre sin repetirse.

¡Pero se conoce a más de 1 billón de dígitos de precisión!

Por ejemplo, el valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n:

gráfica de (1+1/n)^n

n (1 + 1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827

 

¡Inténtalo! Pon "(1 + 1/100000) ^ 100000" en la calculadora:

(1 + 1/100000)100000

¿Qué obtienes?

Otra manera de calcularlo

El valor de e también es igual a 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + ... (etc)

(Nota: "!" significa factorial)

Los primeros términos suman: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666...

De hecho, el propio Euler utilizó este método para calcular e con 18 decimales.

Puedes probarlo tú mismo en la calculadora sigma.

Recordando

Para recordar el valor de e (hasta 10 cifras) apréndete esta frase (¡cuenta las letras!):

O puedes aprenderte la curiosa pauta de que después del "2.7" el número "1828" aparece DOS VECES:

2.7 1828 1828

Y después de eso vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles (dos iguales) que son 45°, 90°, 45°: (no hay una razón en particular, simplemente es así):

2.7 1828 1828 45 90 45

(¡una manera instantánea de parecer muy listo!)

Crecimiento

e se utiliza en la función exponencial "natural":

exponencial natural
Gráfica de f(x) = ex

Tiene esta propiedad fascinante: "su valor es igual a su pendiente"

En cualquier punto la pendiente de ex es igual al valor de ex :

exponencial natural
cuando x=0, el valor ex = 1, y la pendiente = 1
cuando x=1, el valor ex = e, y la pendiente = e
etc...

Esto se cumple a lo largo de toda ex, y hace que algunas cosas en Cálculo (como tener que encontrar pendientes) sean mucho más fáciles.

Área

El área hasta cualquier valor de x también es igual a ex :

exponencial natural

Otra propiedad interesante

Corta y multiplica

Digamos que cortamos un número en partes iguales y las multiplicamos juntas.

Ejemplo: corta 10 en 2 piezas y multiplícalas:

Cada "pieza" tiene un tamaño de 10/2 = 5

5×5 = 25

¿Cuánto tiene que ser cada parte de grande, para que al multiplicarlas juntas salga el máximo número posible?

La respuesta: haz que las partes sean "e", ... bueno, lo más cerca posible de e.

Ejemplo: 10

10 cortado en 2 partes iguales es 5:5×5 = 52 = 25
10 cortado en 3 partes iguales es 313:(313)×(313)×(313) = (313)3 = 37.0...
10 cortado en 4 partes iguales es 2.5:2.5×2.5×2.5×2.5 = 2.54 = 39.0625
10 cortado en 5 partes iguales es 2:2×2×2×2×2 = 25 = 32

El ganador es el número más cercano a "e", en este caso 2.5.

Prueba con otro número, por ejemplo 50... ¿qué te sale?

100 dígitos decimales

Aquí está e con 100 dígitos decimales:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274...

Avanzado: uso de e en interés compuesto

A menudo, el número e aparece en lugares inesperados. Como en finanzas.

Imagínate un banco maravilloso que paga el 100% de interés.

En un año podrías convertir $1000 en $2000.

Ahora imagina que el banco paga dos veces al año, es decir, 50% y 50%

A mitad de año tienes $1500, reinviertes el resto del año y tus $1500 aumentan a $2250

Tienes más dinero porque has reinvertido a la mitad del año.

Eso se llama interés compuesto.

¿Podríamos obtener aún más si dividiéramos el año en meses?

Podemos usar esta fórmula:

(1+r/n)n

r = tasa de interés anual (como decimal, por lo que es 1, no 100%)
n = número de períodos dentro del año

Nuestro ejemplo semestral es:

(1+1/2)2 = 2.25

Probémoslo mensualmente:

(1+1/12)12 = 2.613...

Probémoslo 10,000 veces al año:

(1+1/10,000)10,000 = 2.718...

Sí, se acerca al valor de e (y así lo descubrió Jacob Bernoulli).

 

¿Por qué ocurre así?

La respuesta radica en la similitud entre:

Fórmula de interés compuesto:   (1 + r/n)n
y    
e (cuando n tiende a infinito):   (1 + 1/n)n

La fórmula de interés compuesto es muy parecida a la fórmula para e (cuando n se acerca al infinito), solo que con una r adicional (la tasa de interés).

Cuando elegimos una tasa de interés del 100% (= 1 como decimal), las fórmulas se volvieron iguales.

Lee interés compuesto para saber más.

Fórmula de Euler para números complejos

e también aparece en esta ecuación muy asombrosa:

eiπ + 1 = 0

Aprende más sobre ella aquí

Transcendental

e también es un número transcendental

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).