Factorial !

Ejemplo: 4! es la abreviación de 4 × 3 × 2 × 1

Factorial

La función factorial (símbolo: !) indica la multiplicación de todos los números enteros desde un número dado, descendiendo hasta el número 1.

Ejemplos:

  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
  • 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

factorial (multiplicación)

En una tabla:

n n!    
1 1 1 1
2 2 × 1 = 2 × 1! = 2
3 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6
4 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24
5 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 120
6 etc etc  

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362,880?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362,880 = 3,628,800

Así que la regla es:

n! = n × (n−1)!

lo que significa
"el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)"

De modo que 10! = 10 × 9!, ... y 125! = 125 × 124!, etc.

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero sigamos el patrón hacia atrás desde, digamos, 4!, así:

24/4=6, 6/3=2, 2/2=1, 1/1=1

¡Y en muchas ecuaciones usar 0! = 1 simplemente tiene sentido!

acomodar letras acb

Ejemplo: ¿De cuántas formas podemos ordenar las letras (sin repetirlas)?

  • Para 1 letra "a" solo hay una 1 manera: a
  • Para 2 letras "ab" hay 1×2=2 maneras: ab, ba
  • Para 3 letras "abc" hay 1×2×3=6 maneras: abc acb cab bac bca cba
  • Para 4 letras "abcd" hay 1×2×3×4=24 maneras: (¡Inténtalo tú mismo!)
  • etc.
La fórmula es simplemente n!

Ahora ... ¿de cuántas formas podemos arreglar cero letras? Solo de una manera, un espacio vacío:

acomodar cero letras

Entonces 0! = 1

¿Dónde se usa el factorial?

Un área en la que se utilizan es en Combinaciones y permutaciones. Teníamos un ejemplo arriba, y aquí hay un ejemplo ligeramente diferente:

1ero, 2do y 3ero

Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes pueden 7 personas llegar primero, segundo y tercero?

La lista es bastante larga, si las 7 personas se llaman a, b, c, d, e, f y g, entonces la lista incluye:

abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, ... etc.

La fórmula es 7!(7−3)! = 7!4!

Escribamos las multiplicaciones en su totalidad:

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1  =  7 × 6 × 5

Eso estuvo genial. La parte 4 × 3 × 2 × 1 se "canceló", dejando solamente 7 × 6 × 5. Y:

7 × 6 × 5  =  210

Así que hay 210 formas diferentes en las que 7 personas pueden llegar en primer, segundo y tercer lugar.

¡Hecho!

Ejemplo: ¿Cuánto es 100! / 98! ?

Usando nuestro conocimiento del ejemplo anterior, podemos saltar directamente a esto:

100!98! = 100 × 99 = 9900

Una pequeña lista

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
20 2,432,902,008,176,640,000
21 51,090,942,171,709,440,000
22 1,124,000,727,777,607,680,000
23 25,852,016,738,884,976,640,000
24 620,448,401,733,239,439,360,000
25 15,511,210,043,330,985,984,000,000

¡Como ves, crecen muy rápido!

Si necesitas más, prueba la Calculadora de precisión.

Datos interesantes

Seis semanas tienen exactamente 10! segundos (= 3,628,800)

He aquí el porqué:

Segundos en 6 semanas   60 × 60 × 24 × 7 × 6
Factoriza algunos números:   (2 × 3 × 10) × (3 × 4 × 5) × (8 × 3) × 7 × 6
Reacomoda:   2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 3 × 3 × 10
Finalmente 3×3=9:   2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

 

mazo de cartas

Hay 52! formas de barajar un mazo de cartas.

Es decir 8.0658175... × 1067

Simplemente baraja un mazo de cartas y es probable que seas la primera persona en toda la historia con ese orden en particular.

 

Hay alrededor de 60! átomos en el Universo observable.

60! es aproximadamente 8.320987... × 1081 y las estimaciones actuales están entre 1078 y 1082 átomos en el Universo observable.

 

70! es aproximadamente 1.197857... x 10100, que es un poco más grande que un Googol (el dígito 1 seguido de cien ceros).

100! es aproximadamente 9.3326215443944152681699238856 x 10157

200! es aproximadamente 7.8865786736479050355236321393 x 10374

 

Temas avanzados

¿Qué hay de los negativos?

¿Podemos tener factoriales para números como −1, −2, etc?

No. Los factoriales enteros negativos no están definidos.

 

Empecemos con 3! = 3 × 2 × 1 = 6 y vamos hacia abajo:

  2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2  
  1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1  
  0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1   (la razón por la que 0!=1)
  (−1)! = 0! / 0 = 1 / 0 =   Ups, dividir por cero no está definido.

Y de aquí en adelante, todos los factoriales de números enteros están indefinidos.

 

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0.5 o −3.217?

¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Y también pueden ser negativos (excepto los números enteros).

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi

Los factoriales de algunos "semienteros" son

(−½)! = √π
(½)! = (½)√π
(3/2)! = (3/4)√π
(5/2)! = (15/8)√π

Y todavía cumplen la regla de que "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

¿Puedes averiguar cuánto es (7/2)!?

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 
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