Interés Compuesto - Composición Periódica
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compuesto.
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periódica.
Explicación rápida del interés compuesto
Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:
Pero sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10 (lo explicamos aquí)
Así que también vale así:
De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces usando exponentes (o potencias):
La fórmula
Esta es la fórmula del Interés Compuesto (como antes, solo que con con letras en vez de números):
Ejemplo: $1,000 invertidos al 10% durante 5 años
Valor Actual VA = $1,000
La tasa de interés es del 10%, como decimal r = 0.10
Número de Periodos n = 5
Ahora podemos elegir diferentes valores, como una tasa de interés del 6%:
Ejemplo: $1,000 invertidos al 6% durante 5 años
Valor Actual VA = $1,000
La tasa de interés es del 6%, como decimal r = 0.06
Número de Periodos n = 5
Composición periódica (en un año)
Pero a veces el interés se paga o cobra anualmente ...
... pero se calcula más de una vez en el año, con el interés agregado cada vez ...
... componiendo varias veces dentro del mismo año.
Ejemplo: "10%, compuesto semianualmente (semestralmente)"
Semianual quiere decir dos veces al año. Así que el 10% se divide en dos:
- 5% en medio del año,
- y otro 5% al final del año,
pero es compuesto (o sea, se añade el interés al total) cada vez:
10%, compuesto semianualmente
El resultado es $1,102.50, esto es un 10.25%, no un 10%
¿Dos tasas de interés anuales?
Sí hay dos tasas de interés anuales:
| Ejemplo | ||
| 10% | La tasa nominal (el interés que te dicen) | |
| 10.25% | La tasa anual equivalente (el interés después de componer) |
¡La Tasa Anual Equivalente es lo que se paga en realidad!
Si el interés se va componiendo durante el año, la Tasa Anual Equivalente acaba siendo más alta que la tasa que se anuncia.
¿Cuánto más? Depende de la tasa de interés y de cuántas veces se compone a lo largo del año.
Calculando
Vamos a hacer una fórmula para calcular la Tasa Anual Equivalente si conocemos:
- la tasa que se dice (la tasa nominal, "r")
- cuántas veces es compuesta ("n").
Lo que tenemos que hacer es tomar la tasa de interés (por ejemplo 10%) y dividirla en "n" periodos, componiendo cada vez.
Usando la fórmula del interés compuesto de más arriba, podemos componer "n" periodos usando
VF = VA (1+r)n
Pero la tasa de interés no es "r", porque hay que repartirla entre "n" periodos, así:
r / n
Así que la fórmula se convierte en:
Esta es la fórmula para la composición periódica:
VF = VA (1+(r/n))n
donde VF = Valor Futuro
VA = Valor Actual
r = tasa de interés anual
n = número de periodos en el año
Vamos a probar con nuestro ejemplo del "10% compuesto semianualmente":
VF = $1,000 (1+(0.10/2))2 = $1,000(1.05)2 = $1,000 × 1.1025 = $1,102.50
¡Ha funcionado! Pero queremos saber la nueva tasa de interés, no la cantidad de dinero, así que quitamos esa parte:
(1+(r/n))n = (1.05)2 = 1.1025
Ahí está la tasa de interés (0.1025 = 10.25%), pero hay que restar el 1:
(1+(r/n))n − 1 = 0.1025 = 10.25%
Entonces la fórmula queda:
Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n − 1
Ejemplo: ¿qué interés te darían si un anuncio dice "6% compuesto mensualmente"?
r = 0.06 (es decir, 6% escrito como decimal)
n = 12
Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n − 1
= (1+(0.06/12))12 − 1
= (1.005)12 − 1 = 0.06168 = 6.168%
Así que en realidad te darían el 6.168%
Ejemplo: 7% interés, compuesto 4 veces al año.
r = 0.07 (es decir, 7% escrito como decimal)
n = 4
Entonces:
VF = VA (1+(0.07/4))4
VF = VA (1+(0.07/4))4
VF = VA (1.0719...)
La Tasa Anual Equivalente es 7.19%
Recuerda:
| Reparte el interés en "n" periodos | r / n |
|---|---|
| Compón eso "n" veces: | (1+(r/n))n |
| No te olvides de quitar el "1" | (1+(r/n))n − 1 |
Tabla de valores
Aquí tienes algunos ejemplos de valores. Fíjate en que componer tiene un efecto muy pequeño cuando el interés es pequeño, per un efecto muy grande cuando la tasa de interés es alta.
| Componer | Periodos | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Anual | 1 | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% |
| Semianual | 2 | 1.00% | 5.06% | 10.25% | 21.00% | 125.00% |
| Trimestral | 4 | 1.00% | 5.09% | 10.38% | 21.55% | 144.14% |
| Mensual | 12 | 1.00% | 5.12% | 10.47% | 21.94% | 161.30% |
| Diario | 365 | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.13% | 171.46% |
| Continuo | Infinito | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.14% | 171.83% |
¿Continuo?
Sí, si tienes periodos cada vez más pequeños (horas, minutos, etc.), al final llegas a un límite, y hasta hay una fórmula para eso:
Fórmula del interés compuesto continuo
Nota: e=2.71828..., el número
de Euler.
Ejemplo: Composición Continua del 20%
e0.20 − 1 = 1.2214... − 1 = 0.2214...
Es decir, 22.14%
Uso
Ahora que puedes calcular la tasa anual efectiva (por periodos específicos o continuos), podemos usarla en cualquier cálculo de interés compuesto.
Ejemplo: Composición continua de $10,000 por 2 años al 8%
La composición continua al 8% es: e0.08 − 1 = 1.08329... − 1 = 0.08329...
Eso es aproximadamente 8.329%
En 2 años (lee Interés Compuesto) se tendrán:
VF = VA × (1+r)n
VF = $10,000 × (1+0.08329)2
VF = $10,000 × 1.173511... = $11,735.11
Conclusión
| Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n −1 |
|
Donde:
|
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
