Interés compuesto: Composición periódica

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Explicación rápida del interés compuesto

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:


Pero sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

(lo explicamos aquí)

Así que también vale así:


De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces usando exponentes (o potencias):

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

Ejemplos

Así que $1,000 invertidos al 10% durante 5 años se convertirían en:

... ¿y si la tasa de interés fuera sólo del 6%?

Composición periódica (en un año)

Pero a veces el interés se paga o cobra anualmente ...

... componiendo varias veces dentro del mismo año.

Compuesto dentro del año

Veamos qué pasa si componemos dos veces al año

Ejemplo: "10%, compuesto semianualmente"

Semianual quiere decir dos veces al año. Así que el 10% se divide en dos:

  • 5% en medio del año,
  • y otro 5% al final del año,

pero es compuesto (o sea, se añade el interés al total) cada vez:

10%, compuesto semianualmente

Ya ves que el resultado es $1,102.50, esto es un 10.25%, no un 10%

¿Dos tasas de interés anuales?

Sí hay dos tasas de interés anuales:

  Ejemplo  
  10% La tasa nominal (el interés que te dicen)
     
  10.25% La tasa anual equivalente (el interés después de componer)
     
  ¡La Tasa Anual Equivalente es lo que se paga en realidad!

Si el interés se va componiendo durante el año, la Tasa Anual Equivalente acaba siendo más alta que la tasa que se anuncia.

Cuánto más, depende de la tasa de interés y de cuántas veces se compone a lo largo del año.

Calculando

Vamos a hacer una fórmula para calcular la Tasa Anual Equivalente si conocemos:

  • la tasa que se dice(la tasa nominal, "r")
  • cuántas veces es compuesta ("n").

Lo que tenemos que hacer es tomar la tasa de interés (por ejemplo 10%) y dividirla en "n" periodos, componiendo cada vez.

Usando la fórmula del interés compuesto de más arriba, podemos componer "n" periodos usando

FV = PV (1+r)n

Pero la tasa de interés no es "r", porque hay que repartirla entre "n" periodos, y así queda cada uno:

r / n

Así que la fórmula se convierte en:

FV = PV (1+(r/n))n

Vamos a probar con nuestro ejemplo del "10% compuesto semianualmente":

FV = $1,000 (1+(0.10/2))2 = $1,000(1.05)2 = $1,000 × 1.1025 = $1,102.50

¡Ha funcionado! Pero queremos saber la nueva tasa de interés, no la cantidad de dinero, así que quitamos esa parte:

(1+(r/n))n = (1.05)2 = 1.1025

Ahí está la tasa de interés (0.1025 = 10.25%), pero hay que restar el 1:

(1+(r/n))n -1 = 0.1025 = 10.25%

Entonces la fórmula queda:

Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n -1


Ejemplo: ¿qué interés te darían si un anuncio dice "6% compuesto mensualmente"?

Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n -1 = (1+(0.06/12))12 -1 = (1.005)12 -1 = 0.06168 = 6.168%

Así que en realidad te darían el 6.168%

Recuerda:

Reparte el interés en "n" periodos r / n
   
Compón eso "n" veces: (1+(r/n))n
   
No te olvides de quitar el "1" (1+(r/n))n - 1

 

Tabla de valores

Aquí tienes algunos ejemplos de valores. Fíjate en que componer tiene un efecto muy pequeño cuando el interés es pequeño, per un efecto muy grande cuando la tasa de interés es alta.

Componer Periodos 1.00% 5.00% 10.00% 20.00% 100.00%
Anual 1 1.00% 5.00% 10.00% 20.00% 100.00%
Semianual 2 1.00% 5.06% 10.25% 21.00% 125.00%
Trimestral 4 1.00% 5.09% 10.38% 21.55% 144.14%
Mensual 12 1.00% 5.12% 10.47% 21.94% 161.30%
Diario 365 1.01% 5.13% 10.52% 22.13% 171.46%
Continuo Infinito 1.01% 5.13% 10.52% 22.14% 171.83%

¿Continuo?

Sí, si tienes periodos cada vez más pequeños (horas, minutos, etc.), al final llegas a un límite, y hasta hay una fórmula para eso:

Fórmula del interés compuesto continuo
Nota: e=2.71828..., el número de Euler.

Por ejemplo, el interés compuesto continuo al 20% es: e0.20 - 1 = 1.2214... - 1 = 0.2214...

Conclusión

 

Tasa Anual Equivalente = (1+(r/n))n -1
 

Donde:

  • r = Tasa nominal (la tasa que se suele decir)
  • n = número de periodos que se componen (ejemplo: mensual = 12)
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