Derivar las fórmulas de interés compuesto

¡Vamos a derivar las fórmulas, con ejemplos!

Para el interés compuesto, se calcula el interés del primer periodo, se suma al total, y después se calcula el interés del periodo siguiente, y así siempre... como este ejemplo:

Hagamos una fórmula

Empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

 


Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

(Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.)

Y la misma fórmula vale todos los años:

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210
· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331
· etc...

Así es como funciona:


De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:

$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51

Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51)

Ejemplos

¿Qué tal unos ejemplos...?
... ¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":

... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:

Las cuatro fórmulas

La fórmula básica para el interés compuesto es:

FV = PV (1+r)n Para calcular el valor futuro, donde:
  • FV = valor futuro,
  • PV = valor presente,
  • r = tasa de interés (en decimal), y
  • n = número de periodos

Con esto podemos calcular FV si sabemos PV, la tasa de interés y el número de periodos

Y manipulando la fórmula podemos calcular PV, la tasa de interés o el número de periodos si sabemos los otros tres:

   
PV = FV / (1+r)n Calcular el valor presente si sabemos el valor futuro, la tasa de interés y el número de periodos.
   
r = ( FV / PV )1/n - 1 Calcular la tasa de interés si sabemos el valor presente, el valor futuro y el número de periodos.
   
n = ln(FV / PV) / ln(1 + r) Calcular el número de periodos si sabemos el valor presente, el valor futuro y la tasa de interés.

¿De dónde hemos sacdo las otras tres fórmulas? ¡Sigue leyendo!

Calcular el valor presente

Digamos que quieres tener $2,000 en 5 años al 10%. ¿Con cuánto tienes que empezar?

O sea, sabes el valor futuro, y quieres saber el valor presente.

Sólo tenemos que arreglar la fórmula... dividimos los dos lados por (1+r)n y nos queda:

Ahora podemos calcular la respuesta:

PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

Funciona así:

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 en 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Entonces $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años crecerían hasta llegar a $10,000.

Calcular la tasa de interés

Si tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta?

Tenemos que arreglar la primera fórmula para calcular esto.

Ahora que tenemos la fórmula, sólo tenemos que "poner" los valores para tener el resultado:

r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487

Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,

Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.

Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838

Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.

Calcular el número de periodos

Si quieres saber cuántos periodos necesitas para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés, también para esto puedes reordenar la fórmula básica.

Pero nos va a hacer falta usar la función logaritmo natural ln() para calcularlo.

Ahora "ponemos dentro" los valores:

n = ln( $2,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27

¡Magia! Te harán falta 7.27 periodos para que tus $1,000 se conviertan en $2,000 al 10% de interés.

Otro ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se conviertan en $10,000 al 5% de interés?

n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar dinero por 10, sólo al 5% de interés.

Conclusión

Ahora que has visto cómo derivamos cada fórmula y cómo se usan, esperamos que te sea más fácil acordarte de ellas, y usarlas en distintas situaciones.

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