Raíces n-ésimas

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial

" n-ésima "

, , , 10ª (décima), 20ª (vigésima), ... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc. , si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

La raíz n-ésima


raíz cuadrada de a Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original...
raíz cúbica de a ... y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original...
raíz n-ésima de a ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original

Así que es la manera general de hablar de raíces
(podría ser la segunda, novena, 324ª o cualquier otra)

El símbolo de la raíz n-ésima

símbolo de la raíz n-ésima

Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima.

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: la raíz n-ésima de 625 es 5 , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación)

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entoncesraíz n-ésima de a^n

¿Por qué "raíz"... ?

raíz de árbol

Cuando cuando veas "raíz" piensa

"conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?"

En el caso de √9 = 3 el árbol es "9", y la raíz es 3.

Propiedades

Ahora que sabemos lo que es una raíz n-ésima, veamos algunas propiedades:

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

raíz n-ésima ab
(suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: raíz cúbica de 128

También funciona con la división:

raíz n-ésima a entre b
(a≥0 y b>0)
(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: raíz cúbica 1 entre 64

Suma y restas

¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

¡no! no se puede distribuir sumas o restas dentro de la raíz n-ésima ¡no!

Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado. También quiere decir que desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz.

 

Exponentes y raíces

Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raíz cuando se pasa al otro lado del "=":

flecha Si   a a la n es igual a b   entonces   a=raíz n-ésima de b   (b ≥ 0)  
 
Ejemplo: 5 a la 4  entonces qw 
 


Raíz n-ésima de una potencia n-ésima

Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raíz n-ésima, recuperas el valor del principio (o a veces su valor absoluto):

    Ejemplos
flecha raíz n-ésima a^n (si a ≥ 0)
raíz n-ésima a^n (para cualquier a, si n es impar)
raíz n-ésima a^n(para cualquier a, si n es par)
      (Nota: |a| quiere decir el valor absoluto de a)
ejemplos de raíces

 

Raíz n-ésima de una potencia m-ésima

Ahora vemos qué pasa cuando el exponente y la raíz tienen valores diferentes (m y n).

flecha a Ejemplo:raíz cúbica de 27 al cuadrado

Así que... puedes poner el exponente "dentro" de la raíz n-ésima, cosa que a veces es útil.

Pero hay otro método todavía más poderoso... puedes combinar el exponente y la raíz para hacer un nuevo exponente, así:

flecha a Ejemplo:raíz cúbica de 4 a la sexta

Es porque la raíz n-ésima es lo mismo que el exponente (1/n):

flecha a Ejemplo: 2½ = √2 (la raíz cuadrada de 2)

¡Quizás quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qué!

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