Raíces n-ésimas

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial

" n-ésima "

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima), ... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc. , si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

La raíz n-ésima

	Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original...
	... y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original...
	... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original

El símbolo de la raíz n-ésima

Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima.

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

¿Por qué "raíz"... ?

Cuando cuando veas "raíz" piensa "conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?" En el caso de √9 = 3 el árbol es "9", y la raíz es 3.

Propiedades

Ahora que sabemos lo que es una raíz n-ésima, veamos algunas propiedades:

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

También funciona con la división:

(a≥0 y b>0)
(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Suma y restas

¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado. También quiere decir que desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz.

Exponentes y raíces

Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raíz cuando se pasa al otro lado del "=":

	Si     entonces     (b ≥ 0)
	Ejemplo:   entonces

Raíz n-ésima de una potencia n-ésima

Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raíz n-ésima, recuperas el valor del principio (o a veces su valor absoluto):

		Ejemplos
	(si a ≥ 0) (para cualquier a, si n es impar) (para cualquier a, si n es par)       (Nota: |a| quiere decir el valor absoluto de a)

Raíz n-ésima de una potencia m-ésima

Ahora vemos qué pasa cuando el exponente y la raíz tienen valores diferentes (m y n).

Ejemplo:

Así que... puedes poner el exponente "dentro" de la raíz n-ésima, cosa que a veces es útil.

Pero hay otro método todavía más poderoso... puedes combinar el exponente y la raíz para hacer un nuevo exponente, así:

Ejemplo:

Es porque la raíz n-ésima es lo mismo que el exponente (1/n):

Ejemplo: 2½ = √2 (la raíz cuadrada de 2)

¡Quizás quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qué!