¿Qué es infinito?
| Infinito ... | |
| ... no es grande ... | |
| ... no es enorme ... | |
| ... no es tremendamente gigante... | |
| ... no es extremadamente e increíblemente gigantesco... | |
| ... es ... |
El infinito no tiene final
Infinito es la idea de que algo no termina.
En nuestro mundo no tenemos nada así... así que nos imaginamos que viajamos más y más, intentando llegar allá, pero no es realmente infinito, solo es un intento de alcanzarlo.
Así que no lo pienses así... solo estás esforzando el cerebro para nada. Piensa simplemente en "interminable". Nunca llegarás, así que no lo intentes.
El infinito no aumenta
Infinito no "está creciendo", ya está completamente formado.
A veces la gente (incluyéndome a mí) decimos "sigue y sigue" y suena como si estuviera creciendo o algo así. Pero el infinito no hace nada, solo es.
El infinito no es un número real
El infinito no se puede medir.
Incluso las galaxias lejanas no pueden competir con el infinito.El infinito es sencillo
¡Sí! En realidad es más sencillo que muchas cosas que sí tienen final. Porque si algo tiene final, tienes que definir dónde está ese final.
Ejemplo: en geometría una línea tiene una longitud infinita.
Una "línea" tiene longitud infinita, va en las dos direcciones sin final.
Si tiene final es un rayo (uno) o un segmento (dos), pero
necesitan información adicional para definir dónde
están los extremos.
Entonces, una línea es en realidad más simple que un rayo o un
segmento de línea.
Más ejemplos: |
|
|
{1, 2, 3, ...} |
La sucesión de los números naturales nunca termina y es infinita. |
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OK, 1/3 es un número finito (no es infinito). Pero escrito como un número decimal, el dígito 3 se repite indefinidamente (decimos "0.3 periódico recurrente"): 0.3333333... (etc) No hay ninguna razón por la que los 3 deban detenerse alguna vez: se repiten infinitamente. |
| 0.999... |
Así que cuando veas un número como "0.999..." (es decir un decimal con una sucesión infinita de 9s), no termina nunca la lista de 9s. No puedes decir "¿pero qué pasa si el último es un 8?", simplemente porque no hay último. (Esta es la razón por la cuál 0.999... es igual a 1). |
| AAAA... |
Una serie infinita de "A"s seguida de una "B" NUNCA tendrá una "B". |
 |
Hay infinitos puntos en una línea. Incluso un segmento de línea corto tiene puntos infinitos. |
Números grandes
Hay números impresionantemente grandes.
Un Gúgol es un 1 seguido de cien ceros (10100) :
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Un gúgol ya es más grande que el número de partículas en el universo conocido, pero existe el Gúgolplex. Es un 1 seguido de un gúgol de ceros. Ni siquiera se puede escribir el número, porque no hay suficiente materia en el universo para escribir los ceros:
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,... etc (un gúgol de ceros)
Y hay números todavía más grandes que necesitan "torres de potencias" para escribirlos.
Por ejemplo, un gúgolplex se puede escribir así: 
Esto es diez elevado a (10 elevado a 100),
Pero imagina un número todavía más grande como 
¡Y es fácil crear números mucho más grandes que estos!
Finitos
Todos estos números son "finitos". Lo que significa que hay un límite a lo grandes que son.
Pero ninguno de esos números se acerca un poco a infinito. Porque son finitos, e infinito... ¡no es finito!
Usando el infinito
A veces podemos usar como si fuera un número, pero infinito no se comporta como un número real.
Por ejemplo: ∞ + 1 = ∞
Esto nos dice que cuando algo ya es infinito, podemos sumar 1 y sigue siendo infinito.
¡Pero ten cuidado con ∞ en las ecuaciones!
Intentemos restar ∞ de ambos lados:
¡Oh, no! Algo está mal aquí.
De hecho, ∞ − ∞ es indefinido.
Para evitar tales errores:
Imagina que cada ∞ tiene un valor diferente
No sabemos cuán grande es el infinito, por lo que no podemos decir que dos infinitos sean iguales:
Ejemplo: Números Pares
El conjunto de números naturales {1, 2, 3, ...} se puede emparejar uno a uno con el conjunto de números pares {2, 4, 6, ...} de esta manera:
Ambos conjuntos son infinitos (sin fin), ¡pero uno parece ser el doble de grande que el otro!
Propiedades
Lo más importante sobre infinito es que:
−∞ < x < ∞
Donde x
es cualquier número real.
Esto quiere decir que
"menos infinito es menor que cualquier número
real
e infinito es mayor que cualquier número real"
Aquí hay más propiedades:
| Propiedades especiales de infinito |
|---|
| ∞ + ∞ = ∞ |
| -∞ + -∞ = -∞ |
| ∞ × ∞ = ∞ |
| -∞ × -∞ = ∞ |
| -∞ × ∞ = -∞ |
| x + ∞ = ∞ |
| x + (-∞) = -∞ |
| x - ∞ = -∞ |
| x − (-∞) = ∞ |
| Si x>0 : |
| x × ∞ = ∞ |
| x × (-∞) = -∞ |
| Si x<0 : |
| x × ∞ = -∞ |
| x × (-∞) = ∞ |
Operaciones indefinidas
Todas estas están "indefinidas":
| Operaciones "indefinidas" |
|---|
|
0 × ∞ |
| 0 × -∞ |
| ∞ + -∞ |
| ∞ - ∞ |
| ∞ / ∞ |
| ∞0 |
| 1∞ |
Ejemplo: ¿es ∞∞ igual a 1?
No, porque en realidad no sabemos cuán grande es infinito, así que no podemos decir que dos infinitos son iguales. Por ejemplo ∞ + ∞ = ∞, así que
| ∞∞ = ∞ + ∞∞ | ||
| y eso diría que | 11 = 21 |  |
¡Eso no tiene sentido!
Así que decimos que ∞∞ está indefinido.
Conjuntos infinitos
Si profundizamos en este tema llegaremos a la idea de diferentes tamaños del infinito como ℵ0 (álef-cero), ℵ1 (álef-uno) y el Continuum.
Lee Conjuntos Contables para saber más.
Conclusión
Infinito es una idea simple: "interminable". Casi todas las cosas que conocemos tienen fin, pero infinito no.
