¿Qué es infinito?
| Infinito ... | |
| ... no es grande ... | |
| ... no es enorme ... | |
| ... no es tremendamente gigante... | |
| ... no es extremadamente e increíblemente gigantesco... | |
| ... es ... |
El infinito no tiene final
Infinito es la idea de que algo no termina.
En nuestro mundo no tenemos nada así... así que nos imaginamos que viajamos más y más, intentando llegar allá, pero no es realmente infinito, solo es un intento de alcanzarlo.
Así que no lo pienses así... solo estás esforzando el cerebro para nada. Piensa simplemente en "interminable". Nunca llegarás, así que no lo intentes.
Infinito no aumenta
Infinito no "está creciendo", ya está completamente formado.
A veces la gente (incluido yo) dice "sigue y sigue" y suena como si estuviera creciendo o algo así. Pero infinito no hace nada, solo es.
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Infinito no es un número realInfinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina. Infinito no se puede medir. Incluso las galaxias lejanas no pueden competir con infinito. |
Infinito es sencillo
¡Sí! En realidad es más sencillo que muchas cosas que sí tienen final. Porque si algo tiene final, tienes que definir dónde está ese final.
Ejemplo: en geometría una línea tiene una longitud infinita.
una "línea" tiene longitud infinita, va en las dos direcciones sin final.
Si tiene final es un rayo (uno) o un segmento (dos), pero necesitan
información adicional para definir dónde están los
extremos.
Entonces, una línea es en realidad más simple que un rayo o un
segmento de línea.
Más ejemplos: |
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{1, 2, 3, ...} |
La sucesión de los números naturales nunca termina y es infinita. |
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OK, 1/3 es un número finito (no es infinito). Pero escrito como un número decimal, el dígito 3 se repite indefinidamente (decimos "0.3 periódico recurrente"): 0.3333333... (etc) No hay ninguna razón por la que los 3 deban detenerse alguna vez: se repiten infinitamente. |
| 0.999... |
Así que cuando veas un número como "0.999..." (es decir un decimal con una sucesión infinita de 9s), no termina nunca la lista de 9s. No puedes decir "¿pero qué pasa si el último es un 8?", simplemente porque no hay último. (Esta es la razón por la cuál 0.999... es igual a 1). |
| AAAA... |
Una serie infinita de "A"s seguida de una "B" NUNCA tendrá una "B". |
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Hay infinitos puntos en una línea. Incluso un segmento de línea corto tiene puntos infinitos. |
Números grandes
Hay números impresionantemente grandes.
Un Gúgol es un 1 seguido de cien ceros (10100) :
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Un gúgol ya es más grande que el número de partículas en el universo conocido, pero existe el Gúgolplex. Es un 1 seguido de un gúgol de ceros. Ni siquiera se puede escribir el número, porque no hay suficiente materia en el universo para escribir los ceros:
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,... etc (un gúgol de ceros)
Y hay números todavía más grandes que necesitan "torres de potencias" para escribirlos.
Por ejemplo, un gúgolplex se puede escribir así: 
Esto es diez elevado a (10 elevado a 100),
Pero imagina un número todavía más grande como 
¡Y es fácil crear números mucho más grandes que estos!
Finitos
Todos estos números son "finitos". Lo que significa que hay un límite a lo grandes que son.
Pero ninguno de esos números se acerca un poco a infinito. Porque son finitos, e infinito... ¡no es finito!
Usar infinito
A veces podemos usar como si fuera un número, pero infinito no se comporta como un número real.
Por ejemplo: ∞ + 1 = ∞
Quiere decir que infinito más uno es igual a infinito.
Cuando algo ya es infinito, podemos sumar 1 y sigue siendo infinito.
Lo más importante sobre infinito es que:
| -∞
< x
< ∞
Donde x es cualquier número real. |
Esto quiere decir que
"menos infinito es menor que cualquier número
real
e infinito es mayor que cualquier número real"
Aquí hay más propiedades:
| Propiedades especiales de infinito |
|---|
| ∞ + ∞ = ∞ |
| -∞ + -∞ = -∞ |
| ∞ × ∞ = ∞ |
| -∞ × -∞ = ∞ |
| -∞ × ∞ = -∞ |
| x + ∞ = ∞ |
| x + (-∞) = -∞ |
| x - ∞ = -∞ |
| x − (-∞) = ∞ |
| Si x>0 : |
| x × ∞ = ∞ |
| x × (-∞) = -∞ |
| Si x<0 : |
| x × ∞ = -∞ |
| x × (-∞) = ∞ |
Operaciones indefinidas
Todas estas están "indefinidas":
| Operaciones "indefinidas" |
|---|
|
0 × ∞ |
| 0 × -∞ |
| ∞ + -∞ |
| ∞ - ∞ |
| ∞ / ∞ |
| ∞0 |
| 1∞ |
Ejemplo: ¿es ∞∞ igual a 1?
No, porque en realidad no sabemos cuán grande es infinito, así que no podemos decir que dos infinitos son iguales. Por ejemplo ∞ + ∞ = ∞, así que
| ∞∞ = ∞ + ∞∞ | ||
| y eso diría que | 11 = 21 |  |
¡Eso no tiene sentido!
Así que decimos que ∞∞ está indefinido.
Distintas tallas de infinitos
Si sigues estudiando este tema encontrarás que hay diferentes tamaños de infinito.
Verás nombres especiales como Aleph-cero (la cantidad de números naturales), Aleph-uno y así sucesivamente, que se utilizan para medir los tamaños de conjuntos.
Por ejemplo, hay infinitos números naturales
{0,1,2,3,4,...}.
Pero hay más números reales (como 12.308 o 1.1111115) porque también hay infinitas variaciones posibles después del punto decimal.
Pero ese es un tema avanzado y va más allá del simple concepto de infinito que discutimos aquí.
Conclusión
Infinito es una idea simple: "interminable". Casi todas las cosas que conocemos tienen fin, pero infinito no.
