Límites (definición formal)

Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

 

Calculando "cerca"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01
Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x2 - 1) / (x-1)


  • cuando x se acerca a a=1,
  • f(x) se acerca a L=2

Así que

  • |f(x)-2| es pequeño
  • cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero "pequeño" es español, no "matemático".

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él
para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelen
usar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")

Y tenemos:

"|f(x)-L|<cuando |x-a|<"

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)
se cumple para todos los >0 existe y es >0 x no es exactamente igual que a significa 0<|x-a|

Y así queda:

"para cada>0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|<cuando 0<|x-a|<"

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De:   A:
0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

  1. Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar
  2. Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:
(Nota: a=3, y L=10)
0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar


Empieza con: |(2x+4)-10|<
Simplifica: |2x-6|<
Saca el 2: 2|x-3|<
Pasa el 2 al otro lado: |x-3|</2

Aquí podemos adivinar que =/2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.


Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<? A ver...
Empieza con: 0<|x-3|<
Sustituye : 0<|x-3|</2
Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<
Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<
Saca un "10" 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo =/2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

"para cada , existe un que cumple que |f(x)-L|<cuando 0<|x-a|<"

Y así hemos demostrado que

Conclusión

Esta demostración ha sido bastante simple, espero que explique esas palabras tan extrañas "existe un... ", y que hayas aprendido una buena manera de intentar este tipo de demostraciones.

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