Diferenciable

Diferenciable quiere decir que la derivada existe ...

Ejemplo: ¿x2 + 6x es diferenciable?

Las Reglas de Derivación nos dicen que la derivada de x2 es 2x y la derivada de x es 1, entonces:

Su derivada es 2x + 6

¡En efecto! x2 + 6x sí es diferenciable.

... y debe existir para cada valor en el dominio de la función.

Dominio

En su forma más simple, el dominio son
todos los valores que entran en una función

dominio y rango

Ejemplo (continuación)

Cuando no se indica, asumimos que el dominio son los Números Reales.

En el caso de x2 + 6x, su derivada 2x + 6 existe para todos los números reales.

Entonces todavía estamos a salvo: x2 + 6x es diferenciable.

Pero qué tal....

Ejemplo: La función f(x) = |x| (valor absoluto):

|x| se ve así:   función valor absoluto

¡En x=0 es puntiaguda!

¿Existe la derivada en x=0?

Prueba

Podemos probar cualquier valor "c" para ver si el límite existe:

lim h→0 f(c+h) − f(c) h

Ejemplo (continuación)

Calculemos el límite para |x| en el valor 0:

 

Empieza con:lim h→0 f(c+h) − f(c) h
f(x) = |x|:lim h→0 |c+h| − |c| h
c=0:lim h→0 |h| − |0| h
Simplifica:lim h→0 |h| h

¡El límite no existe! Para ver por qué, comparemos los límites del lado izquierdo y derecho:

Del lado izquierdo:lim h→0 |h| h = −1
Del lado derecho:lim h→0+ |h| h = +1

Los límites son diferentes en ambos lados, por lo que el límite no existe.

 

Entonces la función f (x) = |x| no es diferenciable

Una buena forma de imaginarse esto en tu mente es pensar:

Al acercarme haciendo zoom, ¿la función tiende a convertirse en una línea recta?

diferenciable (con zoom es una línea) vs no diferenciable (con zoom es puntiagudo)

La función de valor absoluto permanece puntiaguda incluso cuando se amplía.

Otras razones

Aquí hay algunos ejemplos más:

función piso  

Las Funciones de Parte Entera (Piso y Techo) no son diferenciables

en valores enteros, ya que hay una discontinuidad en cada salto.

Pero son diferenciables en los demás valores.

 
x^(1/3) pendiente  

La función raíz cúbica x(1/3)

Su derivada es (1/3)x−(2/3) (por la Regla General de las Potencias)

En x=0 la derivada no está definida, por lo tanto x(1/3) no es diferenciable.

1/x gráfica

  En x=0 la función no está definida por lo que no tiene sentido preguntar si es diferenciable allí.

¡Para ser diferenciable en un punto determinado, la función debe primero estar definida en él!

sin (1/x) gráfica
 

A medida que nos dirigimos hacia x=0, la función se mueve hacia

arriba y hacia abajo cada vez más rápido, por lo que no podemos

encontrar un valor al cual "se dirige".

Entonces no es diferenciable.

 

Diferente dominio

¡Podemos cambiar el dominio!

gráfica valor absoluto, dominio positivo

Ejemplo: La función g (x) = |x| con dominio (0,+∞)

El dominio es de 0 en adelante pero sin incluir al 0 (es decir, todos los valores positivos).

Y SÍ ES diferenciable.

Y estoy "absolutamente seguro" sobre eso :)

Así que la función g(x) = |x| con dominio (0,+∞) es diferenciable.

También podríamos restringir el dominio de otras formas para evitar x=0 (por ejemplo: todos los números reales negativos, todos los números reales distintos de cero, etc.).

 

¿Por qué es relevante esto?

Porque cuando una función es diferenciable podemos utilizar todo el poder del cálculo al trabajar con ella.

Continua

Cuando una función es diferenciable también es continua.

Diferenciable Continua

Pero una función puede ser continua pero no diferenciable. Por ejemplo, la función de valor absoluto es en verdad continua (pero no diferenciable) en x=0.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).