Reglas de Integración

Integración

La integración se puede utilizar para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. Pero es más fácil comenzar por encontrar el área debajo de la curva de una función como esta:

  área integral

 

La integral de muchas funciones es bien conocida y existen reglas útiles para calcular la integral de funciones más complicadas, muchas de las cuales se muestran aquí.

Hay ejemplos más abajo para ayudarte.

Funciones comunes Función Integral
Constante a dx ax + C
Variable x dx x2/2 + C
Cuadrada x2 dx x3/3 + C
Recíproca (1/x) dx ln|x| + C
Exponencial ex dx ex + C
  ax dx ax/ln(a) + C
  ln(x) dx x ln(x) − x + C
Trigonometría (x en radianes) cos(x) dx sin(x) + C
  sin(x) dx -cos(x) + C
  sec2(x) dx tan(x) + C
     
Reglas Función Integral
Multiplicación por una constante cf(x) dx cf(x) dx
Potencias (n≠-1) xn dx xn+1n+1 + C
Suma (f + g) dx f dx + g dx
Resta (f - g) dx f dx - g dx
Integración por Partes Ver Integración por Partes
Integración por Sustitución Ver Integración por Sustitución

Ejemplos

Ejemplo: ¿Cuál es la integral de sin(x) ?

De la tabla anterior, se sabe que es −cos(x) + C

Se escribe así:

sin(x) dx = −cos(x) + C

Ejemplo: ¿Cuál es la integral de 1/x ?

De la tabla anterior, se sabe que es ln|x| + C

Se escribe así:

(1/x) dx = ln|x| + C

Las barras verticales || a ambos lados de x indican valor absoluto, porque no queremos dar valores negativos a la función logaritmo natural ln.

Regla de las Potencias

Ejemplo: ¿x3 dx ?

Nos están preguntando "¿Cuál es la integral de x3 ?"

Podemos usar la regla de las potencias, donde n=3:

xn dx = xn+1n+1 + C

x3 dx = x44 + C

Ejemplo: Encuentra √x dx

√x es lo mismo que x0.5

Podemos usar la regla de las potencias, donde n=½:

  ∫xn dx  = xn+1n+1 + C

x0.5 dx = x1.51.5 + C

              = x1.53/2 + C

                = 2x3/23 + C

Multiplicación por una constante

Ejemplo: ¿Cuál es 6x2 dx ?

Podemos mover el 6 fuera de la integral:

6x2 dx = 6x2 dx

Y ahora usa la regla de las potencias en x2:

= 6 x33 + C

Simplifica:

= 2x3 + C

Regla de la Suma

Ejemplo: ¿Cuál es cos x + x dx ?

Usa la Regla de la Suma

cos x + x dx = cos x dx + x dx

Calcula cada una de las integrales (usando la tabla anterior):

= sin x + x2/2 + C

Regla de la Resta

Ejemplo: ¿Cuál es ew − 3 dw ?

Usa la Regla de la Resta

ew − 3 dw =ew dw − 3 dw

Calcula cada una de las integrales (usando la tabla anterior):

= ew − 3w + C

Reglas de suma, diferencia, multiplicación constante y potencia

Ejemplo: ¿Cuál es 8z + 4z3 − 6z2 dz ?

Usa las reglas de la suma y la resta

8z + 4z3 − 6z2 dz =8z dz + 4z3 dz − 6z2 dz

Multiplicación por una constante:

= 8z dz + 4z3 dz − 6z2 dz

Potencias:

= 8z2/2 + 4z4/4 − 6z3/3 + C

Simplifica:

= 4z2 + z4 − 2z3 + C

Integración por Partes

Lee Integración por Partes

Integración por Sustitución

Lee Integración por Sustitución

 

Consejos finales

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).