Conjunto potencia

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.

¿OK? ¿Lo entendiste? A lo mejor te ayuda un ejemplo...

Todos los subconjuntos

Si tenemos un conjunto {a,b,c}:

  • Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás
  • Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio")
  • Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}

De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.

Cuántos subconjuntos

¡Fácil! Si el conjunto original tiene n elementos, el conjunto potencia tendrá 2n elementos

Ejemplo: en el ejemplo {a,b,c} de arriba hay tres elementos (a,b y c, claro).

Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8, ¡y así es!

Notación

El número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|, así que ahora escribimos:

|P(S)| = 2n

Ejemplo: ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S={1,2,3,4,5}?

Bien, S tiene 5 elementos, así que:

|P(S)| = 2n = 25 = 32

Verás en un momento porqué el número de elementos es una potencia de 2.

¡Es binario!

Y esto es lo más sorprendente. Si quieres crear un conjunto potencia, escribe la sucesión de números binarios de n cifras, y con cada número haz un subconjunto: cuando haya un "1", añade el elemento que corresponde. Se entiende mejor con un ejemplo:

  abc Subconjunto
0 000 { }
1 001 {c}
2 010 {b}
3 011 {b,c}
4 100 {a}
5 101 {a,c}
6 110 {a,b}
7 111 {a,b,c}

Bueno, no están ordenados, pero están todos.

Otro ejemplo

¡Vamos a comer! Tenemos cuatro sabores de helado: banana, chocolate, limón y fresa. ¿De cuántas maneras podemos combinarlos?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f}. Algunos ejemplos de combinaciones son

  • {} (ninguno, estás a dieta)
  • {b, c, l, f} (todos los sabores)
  • {b, c} (banana y chocolate van bien juntos)
Vamos a hacer una tabla:
  bcls Subconjunto
0 0000 {}
1 0001 {f}
2 0010 {l}
3 0011 {l,f}
... ... etc .. ... etc ...
12 1100 {b,c}
13 1101 {b,c,f}
14 1110 {b,c,l}
15 1111 {b,c,l,f}

Y el resultado es (después de ordenar):

P = { {}, {b}, {c}, {l}, {f}, {b,c}, {b,l}, {b,f}, {c,l}, {c,f}, {l,f}, {b,c,l}, {b,c,f},

{b,l,f}, {c,l,f}, {b,c,l,f} }


Simetría

¿Te has fijado en que en la tabla de arriba el primer subconjunto es vacío y el último tiene todos los elementos?

¿Y te has dado cuenta de que el segundo subconjunto es "f", y el penúltimo tiene todos excepto "f"?

   

De hecho si pones un espejo en medio de la tabla verás que hay una especie de simetría.

Esto es porque los números binarios que hemos usado tienen una simetría bonita y elegante.


Un ejemplo primordial

El conjunto potencia es útil en áreas donde no lo esperamos. Quiero calcular todos los factores (no sólo los factores primos, sino todos los factores) de un número.

Una manera sería probar todas las posibilidades. Así que para encontrar todos los factores de, digamos 330, podríamos probar con 2,3,4,5,6,7,8,9,10... ¡etc! Se puede mejorar, claro, pero aun así llevaría mucho tiempo con números grandes (en mis experimentos el ordenador trabajaba durante horas).

Pero los factores primos se pueden calcular rápidamente, ¿no puedo combinar los factores primos de alguna manera para construir todos los factores?

Vamos a ver, 330 = 2×3×5×11 (usando números primos).

Así que los factores de 330 serían: 2,3,5 y 11... y 2×3, 2×5 y 2×11 también, y 2×3×5 y 2×3×11... ¿? ¡Ajá! ¡Necesito un conjunto potencia!

Así que mi conjunto original es {2,3,5,11}:

  2,3,5,11 Subset Factor
0 0000 { } 1
1 0001 {11} 11
2 0010 {5} 5
3 0011 {5,11} 5 × 11 = 55
4 0100 {3} 3
5 0101 {3,11} 3 × 11 = 33
  ... etc ... ... etc ... ... etc ...
15 1111 {2,3,5,11} 2 × 3 × 5 × 11 = 330

¿Y el resultado? Los factores de 990 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330, y -1, -2, -3, etc. también (puedes usar la herramienta para calcular todos los factores).

Automático

No he podido resistirme a hacerlo disponible para ti de manera automática.

Así que si necesitas calcular un conjunto potencia, prueba el creador de conjuntos potencia

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