Dígitos binarios

Números binarios

Un número binario está hecho sólo de 0s y 1s.

Así que cada cifra sólo tiene dos posibilidades: 0 o 1

Bits

En el mundo de los ordenadores "dígito binario" se suele abreviar con la palabra "bit"

Más de un dígito

Así que si un dígito sólo tiene dos valores posibles (como "0" y "1", o "On" y "Off"), ¿cuántas combinaciones hay con 2 o más dígitos binarios?

Por ejemplo, ¿de cuántas maneras se pueden poner 4 dígitos (como en el ejemplo de 4 tambores diferentes)?

Vamos a escribirlas todas, empezando por 1 dígito (puedes probar tú mismo pulsando los interruptores):

Un interruptor tiene 2 posiciones...
0
1
... dos interruptores tienen 4 posiciones...
0 0 00
1 01
1 0 10
1 11
... tres interruptores tienen 8 posiciones...
0 0 0 000
1 001
1 0 010
1 011
1 0 0 100
1 101
1 0 110
1 111
... y cuatro interruptores tienen 16 posiciones.
0 0 0 0 0000
1 0001
1 0 0010
1 0011
1 0 0 0100
1 0101
1 0 0110
1 0111
1 0 0 0 1000
1 1001
1 0 1010
1 1011
1 0 0 1100
1 1101
1 0 1110
1 1111

Y de hecho hemos creado los primeros 16 números binarios:

Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Esto es algo que viene bien aprenderse. Si olvidas cómo va la secuencia de números binarios, sólo piensa en esto: "0" y "1", después "0" y "1" otra vez pero con un "1" delante ("10" y "11"), después toma esos cuatro y pon "1"s delante ("100","101","110","111") ¡y así sigue!

Doblar cifras binarias

Fíjate también en que cada vez que pones una cifra binaria más, se doblan las posibilidades. ¿Por qué el doble? Porque tienes que tomar todas las posiciones anteriores y hacerlas corresponder con un "0" y un "1" como hicimos antes.

Así que si tienes 5 cosas el total sería 32, con 6 cosas sería 64, etc.

Usando exponentes, esto lo podemos escribir así:

Número de dígitos Fórmula Posiciones
1 21 2
2 22 4
3 23 8
4 24 16
5 25 32
6 26 64
etc... etc... etc...

Ejemplo: si tienes 50 dígitos binarios (o 50 cosas que pueden tener cada una dos posiciones), ¿de cuántas maneras diferentes puedes hacerlo?

Respuesta: 250 = 2 × 2 × 2 × 2 ... (cincuenta factores) = 1,125,899,906,842,624

Así que un número binario con 50 dígitos puede tener 1,125,899,906,842,624 valores diferentes.

O por decirlo de otra manera, podría indicar un número hasta 1,125,899,906,842,623 (fíjate en que es uno menos que el número total de valores, porque uno de los valores es 0).

Tablero de ajedrez

Hay una antigua leyenda india sobre un rey al que un sabio que visitaba su reino retó a jugar al ajedrez. El rey preguntó: "¿cuál es el premio si ganas?".

El sabio dijo que sólo quería un poco de arroz: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera y así sucesivamente, cada vez el doble. El rey se sorprendió por la humilde solicitud.

Pues el sabio ganó, así que ¿cuántos granos de arroz debería recibir?

En la primera casilla: 1 grano. En la segunda: 2 granos (3 en total) y así sucesivamente:

Casilla Granos Total
1 1 1
2 2 3
3 4 7
4 8 15
10 512 1,023
20 524,288
1,048,575
30 53,6870,912
1,073,741,823
64 ???
???

¡Cuando andes por la casilla 30 ya habrás visto que es muchísimo arroz! Mil millones de granos pesarían unas 25 toneladas (1,000 granos pesan unos 25 gramos, los he pesado).

Fíjate en que el Total por cada casilla es 1 menos que los Granos de la siguiente (ejemplo: en la casilla 3 el total acumulado es 7, y la casilla 4 tiene 8 granos). Así que el total en todas las casillas sigue la fórmula 2n-1, donde n es el número de la casilla. Por ejemplo, para la casilla 3, el total es 23-1 = 8-1 = 7

Así que para rellenar las 64 casillas del tablero de ajedrez necesitaríamos 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 granos (460 mil millones de toneladas de arroz), muchas veces más arroz del que hay en todo el reino.

Así que el poder de doblar en binario no hay que tomarlo a la ligera (¡460 mil millones de toneladas no es nada ligero!)

(Por cierto, en la leyenda el sabio se descubre para mostrar que es Krishna y le dice al rey que no tiene que pagar inmediatamente: puede pagar la deuda poco a poco, dando arroz a los peregrinos hasta que esté pagada.)

Hexadecimal

Para terminar, me gustaría hablarte de la relación especial entre binario y hexadecimal.

Hay 16 dígitos hexadecimales, y ya sabemos que 4 cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relación exacta entre ellos es:

Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Así que cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los números binarios), es mucho más fácil usar un solo dígito hexadecimal en lugar de 4 dígitos binarios.

Por ejemplo, el número binario "100110110100" es "9B4" en hexadecimal. ¡Yo sé cuál prefiero escribir!

Buscar :: Índice de Temas :: Sobre Nosotros :: Contáctanos :: Cita esta Página :: Privacidad

Copyright © 2011 Disfruta Las Matemáticas.com
Math is Fun Website