¿Qué es una función?

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.

Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

Ejemplos

Pero no vamos a ver funciones concretas...
... ahora vamos a ver la idea general de una función.

Nombres

Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres.

Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:

Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro

Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:

f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado.

Así que con la función "f(x) = x2", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir f(4) = 16.

Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como y = x2

Relacionar

Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!

En realidad, una función relaciona la entrada con la salida.

Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a:

a(edad) = edad × 20

Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

Volveremos a esta idea después de responder la pregunta...

¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?

Los "números" parecen una respuesta clara, pero...

... ¿qué números? Por ejemplo, la función de la altura del árbol a(edad) = edad×20 no tiene sentido si la edad es menor que cero.

... también podrían ser letras ("A"→"B"), o códigos de identificación ("A6309"→"Acceso") o cosas más raras.

Así que tenemos que usar algo más general, y ahí es donde entran en juego los conjuntos:

Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números.

Aquí tienes algunos ejemplos:

El conjunto de los números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Un conjunto de ropa: {"sombrero","camisa",...}
El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Los múltiplos de 3 que son más pequeños que 10: {3, 6, 9}

Cada cosa individual en un conjunto (como "4" o "sombrero") es un miembro, o elemento.

Así que una función toma elementos de un conjunto, y devuelve (normalmente con algún cambiados) elementos de un conjunto. Con esto llegamos a la definición formal:

Definición formal de función

Una función relaciona cada elemento de un conjunto
con un elemento exactamente de otro conjunto
(puede ser el mismo conjunto).

   
"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale!
Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre "X" (relaciona cada elemento de)

También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.

Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.

Esto son cosas normales entre funciones, pero algunos tipos de funciones cumplen reglas más estrictas, para saber más lee sobre inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

 

no univaluada

La prueba de la línea vertical

En un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez.

Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.

 

Dominio, codominio y rango

En el dibujo de arriba

  • el conjunto "X" es el dominio,
  • el conjunto "Y" es el codominio, y
  • el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama rango o imagen.

Tenemos una página especial sobre dominio, codominio y rango por si quieres saber más.

Pares ordenados

Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).

Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.

Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"

Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:

Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3".

Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}

Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir

"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"

Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.

Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 y 5, o sea no es univaluada

Conclusión

  • una función relaciona entradas con salidas
  • una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de un conjunto (el codominio).
  • las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman la imagen o rango
  • una entrada sólo produce una salida (no una u otra)
  • una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos un par ordenado
  • así que una función también se puede ver como un conjunto de pares ordenados

Eso es todo por ahora

¡Que funciones bien!

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