Parábola

parábola

Si das una patada a una pelota de fútbol (o disparas una flecha o un misil, o tiras una piedra) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta...

... ¡siguiendo una parábola!

(Excepto por el efecto del aire.)

 

Definición

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de:

  • un punto fijo (el foco), y
  • una línea fija (la directriz)
parábola

En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!).

Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea.

Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.

parábola

 

Nombres

Estos son los nombres más importantes:

  • la directriz y el foco (están explicados arriba)
  • el eje de simetría (pasa por el foco, perpendicular a la directriz)
  • el vértice (donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino entre el foco y la directriz.

Reflector

Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:

Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco.

Así las parábolas se pueden usar para:

  • antenas (antena parabólica),
  • radares,
  • concentrar los rayos solares para calentar un punto,
  • los espejos dentro de focos y linternas
  • etc
parábola
Y por eso el punto central se llama foco... ¡porque ahí es donde se enfocan todos los rayos! antena parabólica

 

sección cónica parábola

También sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono).

Por tanto, la parábola es una sección cónica (una sección de un cono).

 

Ecuaciones

Si pones la parábola en coordenadas cartesianas (gráfico x-y) con:

  • el vértice en el origen "O" y
  • el eje de simetría en el eje x,

entonces la curva queda definida por la ecuación:

y2 = 4ax

parábola en coordenadas

Ejemplo: ¿dónde está el foco de la ecuación y2=5x ?


Si ponemos y2 = 5x en la forma y2 = 4ax, tenemos que y2 = 4 (5/4) x,

así que a = 5/4, y el foco de y2=5x es:

F = (a,0) = (5/4,0)

Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:

orientaciones parábola
y2 = 4ax y2 = -4ax x2 = 4ay x2 = -4ay

Medidas para una antena parabólica

Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿qué medidas necesitas?

Para que sea fácil de hacer, digamos que apunte hacia arriba, y así tenemos la ecuación x2 = 4ay.

Y queremos que "a" sea 200, así que la ecuación queda:

x2 = 4ay = 4 × 200 × y = 800y

Lo reescribimos para poder calcular las alturas:

y = x2/800

Aquí tienes algunas medidas de alturas que van saliendo:

orientaciones parábola Distancia horizontal ("x") Altura ("y")
0 mm 0.0 mm
100 mm 12.5 mm
200 mm 50.0 mm
300 mm 112.5 mm
400 mm 200.0 mm
500 mm 312.5 mm
600 mm 450.0 mm
   

Si construyes una dímelo, ¡puedo poner aquí una foto!

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