Actividad: Subconjuntos

¡Lee primero Introducción a Conjuntos!


En esta actividad investigarás cuántos subconjuntos tiene un conjunto.

¿Qué es un subconjunto?

Un subconjunto es un conjunto contenido en otro conjunto.

Es como si pudieras elegir helado de los siguientes sabores:

{plátano, chocolate, vainilla}

Puedes elegir cualquier sabor {plátano}, {chocolate} o {vainilla},

O cualquiera de los dos sabores: {plátano, chocolate}, {plátano, vainilla} o {chocolate, vainilla}.

O los tres sabores (no tiene nada de malo),

O podrías decir "ninguno en absoluto, gracias", que es el "conjunto vacío": {}

 

Ejemplo: El conjunto {alex, brenda, carlos, delia}

Tiene los subconjuntos:

También tiene los subconjuntos:

También:

Y también:

Ahora comencemos con el Conjunto Vacío y sigamos hacia arriba...

El conjunto vacío

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío?

Podrías elegir:

Pero, espera un minuto, ¡en este caso son lo mismo!

Entonces, el conjunto vacío realmente tiene solo 1 subconjunto (que es en sí mismo, el conjunto vacío).

Es como preguntar "No hay nada disponible, entonces, ¿qué eliges?" Responde "nada". Esa es tu única opción. Bien.

Un conjunto con un elemento

El conjunto podría ser cualquier cosa, pero digamos que es:

{manzana}

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto {manzana}?

Y eso es todo. Puedes elegir un elemento o nada.

Entonces cualquier conjunto con un elemento tendrá 2 subconjuntos.

Un conjunto con dos elementos

Agreguemos otro elemento a nuestro conjunto de ejemplo:

{manzana, plátano}

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto {manzana, plátano}?

Podrías tener {manzana}, o {plátano}, y no olvides:

Entonces un conjunto con dos elementos tiene 4 subconjuntos.

Un conjunto con tres elementos

Qué tal si:

{manzana, plátano, cereza}

Bien, seamos más sistemáticos ahora y listemos los subconjuntos por cuántos elementos tienen:

Subconjuntos con un elemento: {manzana}, {plátano}, {cereza}

Subconjuntos con dos elementos: {manzana, plátano}, {manzana, cereza}, {plátano, cereza}

Y:

De hecho lo podríamos poner en una tabla:

  Lista Número de
subconjuntos
cero elementos {} 1
un elemento {manzana}, {plátano}, {cereza} 3
dos elementos {manzana, plátano}, {manzana, cereza}, {plátano, cereza} 3
tres elementos {manzana, plátano, cereza} 1
Total: 8

(Nota: ¿viste un patrón en los números anteriores?)

Conjuntos con cuatro elementos (¡tu turno!)

Ahora intenta hacer lo mismo para este conjunto:

{manzana, plátano, cereza, dátil}

Aquí hay una tabla para ti:

  Lista Número de
subconjuntos
cero elementos {}  
un elemento    
dos elementos    
tres elementos    
cuatro elementos    
Total:  

(Nota: si lo hiciste bien, habrá un patrón en los números).

 

Conjuntos con cinco elementos

Y ahora:

{manzana, plátano, cereza, dátil, fresa}

Aquí hay una tabla para ti:

  Lista Número de
subconjuntos
cero elementos {}  
un elemento    
dos elementos    
tres elementos    
cuatro elementos    
cinco elementos    
Total:  

(¿Había un patrón en los números?)

 

Conjuntos con seis elementos

Qué pasa:

{manzana, plátano, cereza, dátil, fresa, naranja}

OK... no necesitamos completar una tabla, porque...

... ¡ya deberías poder ver un patrón!

Duplicación

Lo primero que debe notar es que el número total de subconjuntos se duplica cada vez:

Un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos

Entonces deberías poder responder:

Otro patrón

Ahora pensemos en subconjuntos y tamaños:

¿Reconoces este patrón de números?

¡Son los números del Triángulo de Pascal!

triángulo de pascal

Esto es muy útil, porque ahora puedes verificar si tienes la cantidad correcta de subconjuntos.

Nota: las filas comienzan en 0, al igual que las columnas.

Ejemplo: para el conjunto {manzana, plátano, cereza, dátil, fresa} enumera subconjuntos de longitud tres:

Pero eso es solo 4 subconjuntos, ¿cuántos debería haber?

Bueno, estás eligiendo 3 de 5, así que ve a la fila 5, posición 3 del Triángulo de Pascal (recuerda comenzar a contar desde 0) para encontrar que necesitas 10 subconjuntos, ¡así que debes pensar más!

De hecho, estos son los resultados: {manzana, plátano, cereza}, {manzana, plátano, dátil}, {manzana, plátano, fresa}, {manzana, cereza, dátil} , {manzana, cereza, fresa}, {manzana, dátil, fresa}, {plátano, cereza, dátil}, {plátano, cereza, fresa}, {plátano, dátil, fresa}, {cereza, dátil, fresa}

Calcular los números

¿Hay alguna forma de calcular los números como 1, 4, 6, 4 y 1 (en lugar de buscarlos en el Triángulo de Pascal)?

Sí, podemos encontrar el número de formas de seleccionar cada número de elementos usando Combinaciones.

Hay cuatro elementos en el conjunto, por lo tanto:

 

¿Puedes hacer lo mismo con un conjunto de cinco elementos?

Completa lo siguiente:

Conclusión

En esta actividad:

Más importante aún, has aprendido cómo se pueden combinar diferentes ramas de las matemáticas.