Introducción a los conjuntos
Olvídate de que sabes lo que es un número.
Aquí es donde empiezan las matemáticas.
En vez de matemáticas con números, vamos a hacer matemáticas con "cosas".
Definición
¿Qué es un conjunto? Bueno, por decirlo de una manera simple es una colección.
Primero eliges una propiedad común a unas "cosas" (esto lo definiremos luego) y después reúnes las "cosas" que tienen esa propiedad.
Por ejemplo, la ropa que llevas: podrían ser zapatos, calcetines, sombrero, camisa, pantalones y otras cosas.
Seguro que a ti se te ocurrirían cien por lo menos.
Esto es un conjunto.
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Otro ejemplo sería tipos de dedos. Este conjunto tendría pulgar,
índice, medio, corazón y meñique
. |
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Así que son solo cosas juntas que tienen una misma propiedad.
Notación
Hay una notación para conjuntos bastante simple. Simplemente enumeramos cada elemento (o "miembro") separado por una coma, y luego ponemos algunos corchetes alrededor de todo:
A estas se les conoce como { } llaves o corchetes.
{calcetines,
zapatos, relojes, faldas, ...}
{pulgar, índice, medio,
corazón, meñique}
Fíjate que el primer ejemplo tiene "..." (tres puntos).
Los tres puntos ... se llaman elipsis, y significan "continuar".
Esto solo quiere decir que el conjunto sigue indefinidamente.
(Ok... En realidad no hay infinitas cosas distintas que ponerse, pero no estoy seguro de eso. Después de pensarlo durante una hora, todavía no estoy seguro).
Entonces:
- El primer conjunto {calcetines, zapatos, relojes, camisas, ...} lo llamamos un conjunto infinito,
- el segundo conjunto {índice, medio, anillo, meñique} lo llamamos un conjunto finito.
Pero a veces el "..." puede ser usado en el medio para salvar la escritura de largas listas:
Ejemplo: el juego de letras:
{a, b, c, ..., x, y, z}
En este caso es un conjunto finito (solo hay 27 letras, ¿verdad?)
Conjuntos de números
¿Qué tiene esto que ver con matemáticas? Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es una propiedad común. ¿Quién dice que no se puede hacer lo mismo con números?
Conjunto de números impares: {..., −3, −1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}
Y la lista sigue. Podemos inventar muchos conjuntos distintos.
También podemos definir un conjunto por sus propiedades, como {x | x> 0} que significa "el conjunto de todas las x, tal que x es mayor que 0", lee Notación de conjuntos para saber más.
También hay conjuntos de números que no cumplen una propiedad común, simplemente se definen así. Por ejemplo:
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203}
Todos estos conjuntos los he escrito aporreando mi teclado sin mirar.
¿Por qué son importantes los conjuntos?
Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticas se construyen.
Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra abstracta, análisis real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos.
Conjunto universal
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Al principio usamos la palabra "cosas" entre comillas. Esto se llama el conjunto universal. Es un conjunto que contiene todo. Bueno, No todo de verdad. Todo lo que tiene que ver con el problema que tienes entre manos. |
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En la teoría de números, el conjunto universal son todos los números enteros, ya que la teoría de números es simplemente el estudio de los números enteros. |
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Pero en Cálculo (también conocido como análisis real), el conjunto universal es casi siempre el de los números reales. |
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Y en Análisis Complejo, el conjunto universal son los números complejos. |
Más notación
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Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras mayúsculas
para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos
de ese conjunto. Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y con C y c. |
No pasa nada si no sigues esa regla, puedes usar algo como m para representar un conjunto sin romper reglas matemáticas (ojo, pasarás π años en la cárcel por dividir entre 0), pero esta notación es fácil de seguir, así que ¿por qué no usarla?
También, cuando decimos que un elemento a está en un conjunto A,
usamos el símbolo 
para mostrarlo. Y si algo no está en un
conjunto usamos 
.
Ejemplo: el conjunto A es {1,2,3}. Como puedes ver 1 A, pero 5 A
Igualdad
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos miembros. Quizás no parezcan iguales a primera vista, ¡tienes que mirarlos bien!
Ejemplos: Son A y B iguales si:
- A es el conjunto de los cuatro primeros enteros positivos
- B = {4, 2, 1, 3}
Vamos a verlo. Los dos contienen 1. Y 2. Y 3, y 4. Y ya hemos comprobado los elementos de los dos conjuntos, así que: ¡Sí, son iguales!
Y el signo igual (=) se usa precisamente para indicar igualdades, así que escribimos:
A = B
Ejemplo: ¿Son estos conjuntos iguales?
- A es {1, 2, 3}
- B es {3, 1, 2}
¡Sí, son iguales!
Ambos contienen exactamente los elementos 1, 2 y 3.
No importa dónde aparezca cada elemento, siempre que esté
allí.
Subconjuntos
Cuando definimos un conjunto, si tomamos partes de él tenemos algo que se llama un subconjunto.
Ejemplo: el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}
Un subconjunto suyo es {1, 2, 3}. Otro subconjunto es {3, 4} y otro es {1}, etc.
Sin embargo, {1, 6} no es un subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el conjunto grande.
En general:
A es subconjunto de B si y solo si cada elemento de A está en B.
Así que vamos a usar esta definición en algunos ejemplos.
¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?
1 está en A, y 1 también está en B. Vamos bien.
3 está en A y 3 también está en B.
4 está en A, y 4 está en B.
Esos son todos los elementos de A, y cada uno está en B, así que hemos terminado.
Sí, A es un subconjunto de B
Ten en cuenta que 2 está en B, pero 2 no está en A. Pero recuerda, eso no importa, solo miramos los elementos en A.
Vamos a intentar un ejemplo más difícil.
Sea A todos los múltiplos de 4 y B todos los múltiplos de 2. ¿Es A un subconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A?
Bueno, no se pueden comprobar todos los elementos de estos conjuntos, porque hay infinitos elementos. Así que tenemos que hacernos una idea de cómo son los elementos en cada uno, y comparar.
Los conjuntos son:
- A = {..., −8, −4, 0, 4, 8, ...}
- B = {..., −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...}
Al emparejar elementos de los dos conjuntos, podemos ver que todos los elementos de A también son elementos de B, pero no todos los elementos de B son elementos de A:
Por lo tanto:
A es un subconjunto de B, pero B no es un subconjunto de A.
Subconjuntos propios
Si nos fijamos en la definición de subconjunto y dejamos que nuestra mente trabaje un poco, llegamos a una conclusión rara.Digamos que A es un conjunto. ¿Es verdad que todo elemento a de A también es un elemento de A?
Bueno, está claro que sí, ¿no?
Eso significa que A es un subconjunto de A. ¡Es un subconjunto de sí mismo!
Esto no parece muy correcto, ¿no? Queremos que nuestros subconjuntos sean propios. Así que introducimos la definición de subconjuntos propios.
A es un subconjunto propio de B si y solo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A.
Esta pequeña pieza al final está ahí para asegurarse de que A no sea un subconjunto adecuado de sí mismo: decimos que B debe tener al menos un elemento adicional.
Ejemplo:
{1, 2, 3} es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es un subconjunto propio de {1, 2, 3}.
Ejemplo:
{1, 2, 3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4} porque el elemento 4 no está en el primer conjunto.
Fíjate en que si A es un subconjunto propio de B, entonces también es un subconjunto de B.
Más notación
Cuando decimos que A es un subconjunto de B, escribimos A 
B.
O podemos decir que A no es subconjunto de B: A 
B ("A no es subconjunto de B")
Cuando hablamos de subconjuntos propios, quitamos la línea de debajo y
queda A 
B o para decir lo contrario, A 
B.
Conjunto vacío
Probablemente esto es lo más raro que tienen los conjuntos.
Por ejemplo, piensa en el conjunto de teclas de piano que tiene una guitarra.
"¡Pero espera!" seguro que dices, "¡Una guitarra no tiene teclas!"
Y tienes toda la razón. Este conjunto no tiene elementos.
A este conjunto se le llama conjunto vacío. No tiene elementos. Ni uno.
Se representa como 
O mediante {} (un conjunto sin elementos)
Otro ejemplo de conjunto vacío es el conjunto de países al sur del polo sur.
¿Y qué es tan extraño sobre el conjunto vacío? Bueno, esa parte viene ahora.
El conjunto vacío y subconjuntos
Volvamos a la definición de subconjunto. Tenemos un conjunto A. No decimos más de él, podría ser cualquier conjunto. ¿El conjunto vacío es subconjunto de A?
Volviendo a la definición de subconjunto, si todo elemento del conjunto vacío también está en A, entonces el conjunto vacío es subconjunto de A. ¿Pero y si no hay elementos?
Hay falta aprender algo de lógica para entender esto, pero esa frase es verdadera de manera "vacía" o "trivial". Piénsalo de esta manera: no podemos encontrar elementos en el conjunto vacío que no estén en A, así que todos los elementos del conjunto vacío están en A.
Así que la respuesta a la pregunta que hicimos es un sonoro sí.
El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, incluído él mismo.
Orden
No, no el orden de los elementos. En conjuntos, no importa en qué orden estén los elementos.
Ejemplo: {1,2,3,4} es el mismo conjunto que {3,1,4,2}
Cuando decimos orden en conjuntos
nos referimos al tamaño del conjunto.
Otro (mejor) nombre para esto es cardinalidad
Para conjuntos finitos, el orden (o cardinalidad) es el número de elementos.
Ejemplo: {10, 20, 30, 40} es de orden 4.
Para conjuntos infinitos, todo lo que podemos decir es que el orden es infinito. Curiosamente, podemos decir con conjuntos que algunos infinitos son más grandes que otros, pero este es un tema más avanzado en conjuntos.
¡No! ¡No más notaciones!
Nah, era broma. No hay más notaciones.
| por
Ricky Shadrach
y
Rod Pierce
|
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
