Introducción a los Logaritmos
En su forma más simple, un logaritmo responde a la pregunta:
¿Cuántos de un número multiplicamos para obtener otro número?
Ejemplo: ¿Cuántos 2s se necesitan multiplicar para tener 8?
Respuesta: 2 × 2 × 2 = 8, así que necesitábamos multiplicar 3 veces el 2 para obtener 8
Entonces el logaritmo es 3
Cómo escribirlo
Escribimos "el número de 2's que necesitamos multiplicar para obtener 8 es 3" de la siguiente forma:
log2(8) = 3
Entonces estas dos cosas son iguales:
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El número que multiplicamos se llama "base", por lo que podemos decir:
- "el logaritmo de 8 con base 2 es 3"
- o "el logaritmo base 2 de 8 es 3"
Ten en cuenta que estamos tratando con tres números:
- la base: el número que estamos multiplicando (como el "2" en el ejemplo anterior)
- con qué frecuencia usarlo en una multiplicación (3 veces, que es el logaritmo)
- el número que queremos obtener (un "8")
Más ejemplos
Ejemplo: ¿Cuál es el log5(625) ... ?
Nos preguntamos "¿cuántos 5s deben multiplicarse para obtener 625?"
5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que necesitamos 4 de esos 5s
Respuesta: log5(625) = 4
Ejemplo: ¿Cuál es el log2(64) ... ?
Nos preguntamos "¿cuántos 2s deben multiplicarse para obtener 64?"
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, así que necesitamos 6 de esos 2s
Respuesta: log2(64) = 6
Exponentes
Los exponentes y los logaritmos están relacionados, veamos cómo ...
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El exponente indica cuántas veces hay que usar un número en una multiplicación. En este ejemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 (el 2 se usa 3 veces en una multiplicación para obtener 8) |
Entonces un logaritmo responde una pregunta como ésta:
De este modo:
¡El logaritmo nos dice cuál es el exponente!
En ese ejemplo, la "base" es 2 y el "exponente" es 3:
Entonces el logaritmo responde a la pregunta:
¿Qué exponente necesitamos
(para que un número se convierta en otro número)?
El caso general es:
Ejemplo: ¿Cuál es el log10(100) ... ?
102 = 100
Se necesita un exponente 2 para convertir 10 en 100, y:
log10(100) = 2
Ejemplo: ¿Cuál es el log3(81) ... ?
34 = 81
Se necesita un exponente 4 para convertir 3 en 81, y:
log3(81) = 4
Logaritmo común: Base 10
A veces un logaritmo se escribe sin una base, como éste:
log(100)
Esto generalmente significa que la base es realmente 10.
En una calculadora es el botón "log".
Es cuántas veces necesitamos usar 10 en una multiplicación, para obtener nuestro número deseado.
Ejemplo: log(1000) = log10(1000) = 3
Logaritmo natural: Base "e"
Otra base que se usa con frecuencia es e (Número de Euler) que es aproximadamente 2.71828.
En una calculadora es el botón "ln".
Es la cantidad de veces que necesitamos usar "e" en una multiplicación, para obtener nuestro número deseado.
Ejemplo: ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2
Porque 2.718282 ≈ 7.389
¡Pero a veces hay confusión ...!
Los matemáticos usan "log" (en lugar de "ln") para referirse al logaritmo natural. Esto puede llevar a confusión:
| Ejemplo | Lo que piensa un ingeniero |
Lo que piensa un matemático |
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|---|---|---|---|
| log(50) | log10(50) | loge(50) | hay confusión |
| ln(50) | loge(50) | loge(50) | sin confusión |
| log10(50) | log10(50) | log10(50) | sin confusión |
Por lo tanto, ten cuidado que cuando leas "log" puedas saber a qué base se refieren.
Los logaritmos pueden tener decimales
Todos nuestros ejemplos han usado logaritmos de números enteros (como 2 ó 3), pero los logaritmos pueden tener valores decimales como 2.5, ó 6.081, etc.
Ejemplo: ¿Cuál es el log10(26) ... ?
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Ten a la mano tu calculadora, teclea 26 y luego presiona log La respuesta es: 1.41497... |
El logaritmo está indicando que 101.41497... = 26
(10 con un exponente de 1.41497... es igual a 26)
| Así es como se ve en una gráfica: Mira qué bonita y suave es la línea. |
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Lee Los Logaritmos Pueden Tener Decimales para descubrir más.
Logaritmos negativos
| − | ¿Negativo? Pero los logaritmos trabajan con la
multiplicación... ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! |
Un logaritmo negativo significa cuántas veces dividir por el número.
Nosotros podemos tener una sola división:
Ejemplo: ¿Cuál es el log8(0.125) ... ?
Bueno, 1 ÷ 8 = 0.125,
Así que log8(0.125) = −1
O muchas divisiones:
Ejemplo: ¿Cuál es el log5(0.008) ... ?
1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5−3,
Así que log5(0.008) = −3
Todo tiene sentido
Multiplicar y dividir son parte del mismo patrón simple.Veamos algunos logaritmos de base 10 como ejemplo:
| Número | Cuántos 10s | Logaritmo Base-10 | ||
|---|---|---|---|---|
 |
.. etc.. | |||
| 1000 | 1 × 10 × 10 × 10 | log10(1000) | = 3 | |
| 100 | 1 × 10 × 10 | log10(100) | = 2 | |
| 10 | 1 × 10 | log10(10) | = 1 | |
| 1 | 1 | log10(1) | = 0 | |
| 0.1 | 1 ÷ 10 | log10(0.1) | = −1 | |
| 0.01 | 1 ÷ 10 ÷ 10 | log10(0.01) | = −2 | |
| 0.001 | 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 | log10(0.001) | = −3 | |
| .. etc.. | ||||
Mirando esa tabla, mira cómo los logaritmos positivos, cero o negativos son realmente parte del mismo patrón (bastante simple).
El origen de la palabra
"Logaritmo" es una palabra compuesta por el matemático escocés John Napier (1550-1617), de la palabra griega logos que significa "proporción, razón o palabra" y arithmos que significa "número", ... ¡que juntas hacen "proporción-número"!
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
